数据分析-统计基础

集中趋势，离散测度，均值，中位数，众数，方差等点估计，区间估计等相关的知识

一：基与坐标

        1.1基

                基的定义：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量组。

                例如，在𝑅2空间中，最常用的一组基就是自然基（i,j），其中i=，j=，显然，𝑅2中所有向量都可以通过他们的线性组合线性表出，且这两个向量线性无关。

        1.2坐标

坐标的定义：向量𝛼可以被基𝜖1,𝜖2,…,𝜖𝑛唯一地线性表出：

                𝛼=𝑎1𝜖1+𝑎2𝜖2+…+𝑎𝑛𝜖𝑛

                则系数𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛称为向量𝛼在基𝜖1,𝜖2,…,𝜖𝑛下的坐标，记为(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)

                一个向量 在不同的基下 坐标一般也不同。

二：线性变换与矩阵

        2.1线性变换（也称线性映射）

                从空间V到V的线性变换是对加法和数乘封闭的函数 𝑇:𝑉→𝑉T:V→V

                也就是说，空间V中的任意一个元素，都可以通过变换T从V中找到另一个元素与之一一对应。

                变换一个向量有两种方式：

                线性空间中，改变空间只需改变基，也就是改变基向量的方向和长度。线性变换通常用大写花体字母表示，例如 𝓐, 𝓑

        2.2矩阵

                矩阵代表一次变换。用一个向量左乘一个矩阵，就表示将这个向量按此矩阵所定义的变换映射到新的向量。（矩阵一般用大写英文字母表示，例如 A, B）

                矩阵乘法（矩阵乘法就是复合变换：两个变换先后作用）

                矩阵乘法的规则：行和列分别相乘

 三：行列式

        以2维空间为例：

        既然线性变换是改变基组，那么我们只需要找到一个指标来度量 2个基向量围成的矩形面积 增大或缩小的比例。

        该指标就是行列式的值。记作det()，或| |

       例： 

                 行列式计算规则：主对角线相乘减去副对角线相乘

                  行列式总结：1.若行列式的值为负，表示空间发生了翻转，交换了坐标轴的顺逆时针顺序 2.矩阵行列式等于零，则矩阵一定出现了向量的线性相关，则空间一定会被降维   3.行类式行数必须等于列数，也就是说必须式方阵才有行列式

四：逆矩阵和矩阵的秩

        在线性代数里，当det(A)=0时，空间被降维后就没有对应的逆变换𝐴−1A^(-1)能变回去了。

        因此当det(A)=0，逆不存在。

        不可逆矩阵称为奇异矩阵。

        可逆矩阵称为非奇异矩阵

        4.2单位矩阵

                在所有矩阵中主对角线元素为1，其他元素都为0的矩阵，就代表什么都不做的变换。

                这种矩阵称为单位矩阵，记作I或者E.

        4.3核

                所有被线性变换变成零向量的向量组成的集合，称为该变换的“核”

                在几何上，核就是即将在变换后落在原点的向量的集合。

        4.4值域

                所有被线性变换映射出的向量的集合，称为该变换的“值域”，就是𝓐𝑣