【算法|动态规划No.32 | 完全背包问题】完全背包模板题

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收录于专栏【手撕算法系列专栏】【LeetCode】
🍔本专栏旨在提高自己算法能力的同时，记录一下自己的学习过程，希望对大家有所帮助
🍓希望我们一起努力、成长，共同进步。

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1️⃣题目描述

2️⃣题目解析

解法1：

状态表示：dp[i][j]表示从前i个物品中进行挑选体积不超过j的所有选法中的最大价值。

状态转移方程：

• dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i - 1][j - V[i] * k] + k * W[i])

3️⃣解题代码

朴素算法：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int V[N],W[N],dp[N][N];

int main()
{
    int n,v;
    cin >> n >> v;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> V[i] >> W[i];
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 0;j <= v;j++)
        {
            for(int k = 0;k * V[i] <= j;k++)
            {
                dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i - 1][j - V[i] * k] + k * W[i]);   
            }
        }
    }
    cout << dp[n][v];
    return 0;
}

时间优化：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int V[N],W[N],dp[N][N];

int main()
{
    int n,v;
    cin >> n >> v;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> V[i] >> W[i];
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= v;j++)
        {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j - V[i] >= 0) dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - V[i]] + W[i]);
        }
    }
    cout << dp[n][v];
    return 0;
}

空间优化（滚动数组）：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int V[N],W[N],dp[N];

int main()
{
    int n,v;
    cin >> n >> v;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> V[i] >> W[i];
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = V[i];j <= v;j++)
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - V[i]] + W[i]);
    cout << dp[v];
    return 0;
}