题目 $1$：四位数 $\overline{abcd}$ 和 $\overline{dbca}$ 的最大公约数为 $63$（相同字母代表相同数字），求所有 $\overline{abcd}$ 与 $\overline{dbca}$

思路

题目就给出了 $2$ 个四位数字，我们需要将对应的数字转换为数学公式，这样我们才能进行求解。
自然我们想到了数位原理。

解

根据数位原理
$\overline{abcd}=1000\ast a+100\ast b+10\ast c+d$
$\overline{dbca}=1000\ast d+100\ast b+10\ast c+a$
这样，我们得到了只有 $2$ 个方程的 $4$ 元 $1$ 次方程组。
消元是很自然的选择。
$$\begin{gathered} (1000\ast a+100\ast b+10\ast c+d)-(1000\ast d+100\ast b+10\ast c+a) \\ =1000\ast a-1000\ast d+d-a \\ =1000\ast (a-d)+(d-a) \\ =999\ast (a-d) \end{gathered}$$
这样，我们将方程花间为一个 $2$ 元 $1$ 次不定方程。下面我们进行分类讨论既可以。
不失通用性，我们可以假设 $\overline{abcd}>\overline{dbca}$。
根据题目条件，可得 $63|(\overline{abcd}-\overline{dbca})$。
所以 $63|(999\ast (a-d))$。
所以 $7|(111\ast (a-d))$。
因为 $(7,111)=1$，所以 $7|(a-d)$。
也就是说 $(a-d)$ 是 $7$ 的倍数。
由于 $a$ 是最高位，因此 $1<a\le 9$。
所以可得 $a=8,d=1$ 或者 $a=9,d=2$。
下面，我们进行分类讨论即可。

1. 当 $a=8,d=1$ 时。
   $\overline{abcd}=\overline{8bc1}=8001+\overline{bc0}$。
   因为 $8001=63\times 127$，即 $8001$ 是 $63$ 的倍数。
   所以 $\overline{bc0}$ 也是 $63$ 的倍数。
   可以得出 $\overline{bc0}=000$ 或者 $\overline{bc0}=630$。
   1.1 当 $\overline{abcd}=8001=63\times 127,\overline{dbca}=1008=63\times 16$，满足 $(127,16)=1$。
   即 $\overline{abcd}=8001,\overline{dbca}=1008$ 是一组解。
   1.2 当 $\overline{abcd}=8631=63\times 137,\overline{dbca}=1638=63\times 26$，满足 $(137,26)=1$。
   即 $\overline{abcd}=8631,\overline{dbca}=1638$ 是一组解。
2. 当 $a=9,d=2$ 时。
   $\overline{abcd}=\overline{9bc2}=9002+\overline{bc0}$。
   因为 $9002\mathrm{mod}63=56$。所以 $\overline{bc0}\mathrm{mod}63=7$。
   可以得出 $\overline{bc0}=070$ 或者 $\overline{bc0}=700$。
   1.1 当 $\overline{abcd}=9072=63\times 144,\overline{dbca}=2079=63\times 33$，而 $(144,33)=3$。
   该组答案舍去。
   即 $\overline{abcd}=9072,\overline{dbca}=2079$ 不是一组解。
   1.2 当 $\overline{abcd}=9702=63\times 154,\overline{dbca}=2709=63\times 43$，满足 $(154,43)=1$。
   即 $\overline{abcd}=9072,\overline{dbca}=2709$ 是一组解。
   综上所述，答案有 $3$ 组。

问题 $2$：若 $a+b=60,(a,b)+[a,b]=84,a,b\in N+$，求 $a,b$

思路

题目给出了 $2$ 个方程，但是 $(a,b)+[a,b]=84$ 这个方程我们无法立即求解，需要进行响应转化。
我们可以利用短除模型。即 $a,b$ 的公约数为 $m$，可得 $a=mA,b=mB,(A,B)=1$。

解

不失通用性，假设 $a>b$。
利用短除模型。记 $m=(a,b)$。
$(a,b)=m,[a,b]=mAB$。
这样方程变为
$mA+mB=60\to m(A+B)=60\to A+B=\frac{60}{m}$
$m+mAB=84\to m(1+AB)=84\to 1+AB=\frac{84}{m}$
因为 $A,B\in N+$
所以 $(A+B),(1+AB)\in N+$，即 $m|60,m|84$。
$60=1\ast 2\ast 2\ast 3\ast 5,84=1\ast 2\ast 2\ast 3\ast 7$
因此 $m=1,2,3,4,6,12$。
经验证 $m=1,2,3,4,6$ 方程无解。
当 $m=12$
$A+B=5,1+AB=7$，即 $A=3,2,B=2,3$。
即 $a=36,b=24$。

问题 $3$：若 $a+b=667,\frac{[a,b]}{(a,b)}=120,a,b\in N+$，求 $a,b$

思路

类似于问题 $2$，使用短除模型即可解决。

解

其实就是问题 $2$ 的变化。
大家可以自己求解。

问题 $4$：求 $a,b\in N+$，使得 $(a,b)+9[a,b]+9(a+b)=7ab$

思路

类似问题 $2$，使用短除模型。
由于本题将转化为一个 $4$ 元 $4$ 次方程，这样的方程是没有办法进行分类讨论的，工作量太大了。
所以我们需要进行缩放。

解

不失通用性，假设 $a>b$。
利用短除模型。记 $m=(a,b)$。
则 $a=mA,b=mB,(A,B)=1$。代回原方程。
$m+9mAB+9(mA+mB)=7\ast mA\ast mB$
$1+9AB+9(A+B)=7mAB$
$\frac{1+9AB+9(A+B)}{AB}=7m$
$\frac{1}{AB}+9+\frac{9}{B}+\frac{9}{A}=7m$
即 $7m=9+\frac{1}{AB}+\frac{9}{B}+\frac{9}{A}$
这样，我们就可以对该方程进行放缩。
根据题目定义 $a,b\in N+\to A,B\in N+$
$9<7m\le 9+1+9+9$
即 $9<7m\le 28\to \frac{9}{7}<m\le \frac{28}{7}$
即 $m=2,3,4$。下面我们进行分类讨论即可。

1. 当 $m=2$
   方程变为 $5AB-9(A+B)-1=0$。可以分类讨论，也可以使用因式分解。$(5A-9)(5B-9)=86$。
   $86=1\ast 86=2\ast 43$
   解得 $A=19,B=2$，即 $a=mA=38,b=mB=4$。
2. 当 $m=3$
   无解。
3. 当 $m=4$
   解得 $A=1,B=1$，即 $a=mA=4,b=mB=4$。
   综上。对应得解为 $(4,4),(4,38),(38,4)$。