【深度学习】吴恩达课程笔记(五)——超参数调试、batch norm、Softmax 回归

笔记为自我总结整理的学习笔记，若有错误欢迎指出哟~

【吴恩达课程笔记专栏】
【深度学习】吴恩达课程笔记(一)——深度学习概论、神经网络基础
【深度学习】吴恩达课程笔记(二)——浅层神经网络、深层神经网络
【深度学习】吴恩达课程笔记(三)——参数VS超参数、深度学习的实践层面
【深度学习】吴恩达课程笔记(四)——优化算法

九、超参数调试

1.调试处理

超参数优先级

红色第一，黄色第二，紫色第三，没框的基本不调

2.超参数数值搭配选择方法

超参数少的时候可以像左面一样均匀取点研究效果。

超参数多的时候可以选择随机取点研究效果。如果此时发现某点及其附近的效果比其它部分好，那么就在这附近的区域较为密集地再多取一些点。如此研究直到得出足够满意的超参数搭配。如下图：

3.为超参数选择合适的范围（标尺）

举例说明：

• 神经网络某层的神经元个数：可以取50-100间均匀随机值

• 神经网络层数：可以取2-4间均匀随机值

• 学习率：可以取0.0001-1间不均匀随机值

$$\begin{gathered} \alpha =10^{-4\ast np.randon.rand()} \\ 例子中的范围为[-4,0] \end{gathered}$$

标尺长上面这样。这样可以给不同的数量级分配相同的搜索资源。

• 指数平均的 𝛽 ：可以取0.9-0.999间不均匀随机值。

因为指数平均计算的是1/(1- 𝛽 )个数的平均值，这个式子在beta接近1的时候对beta更加敏感，因此应该令beta越接近1时，给相应的beta范围分配更多的搜索权重。

如图所示，对1- 𝛽 施以类似上面的学习率的计算，即可达到效果。

实际上，即使不使用这类换标尺的方法，只要有足够数据，或者能恰当的使用逐渐缩小超参数组合范围的方法，也可以较快的算出超参数的恰当值。

4.超参数调整实践（Pandas VS Caviar）

熊猫法

同时运行一个模型，观察其性能随时间变化，手动调整超参数

鱼子酱法

同时运行多个模型，不进行人工干预。全部训练完毕后选出训练结果较好的模型。

十、batch norm

1.归一化网络的激活函数

含义：将z进行归一化。即将z的分布调整到平均值为0，值分布调整到0-1之间（方差为1）。

目的：使得神经网络的参数计算更有效率

注意：在训练隐藏层的时候，有时候为了发挥sigmoid、tanh等的效果，你不希望数据的方差变为1，那么你就没必要对z归一化
$$\begin{gathered} z^{(1)},...,z^{(m)}——>z^{[l](i)},i为1到m的某个隐藏层i \\ \mu =\frac{1}{m}\sum _i^m{z}^{(i)} \\ {\sigma }_{norm}^2=\frac{1}{m}\sum _i^m(z_i-\mu {)}^2 \\ {z}_{norm}^{(i)}=\frac{z^{(i)}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2+ϵ}} \end{gathered}$$
但是有时候我们不希望z分布在0-1、平均值为0，也许分布在别的地方会更有意义。
$$\begin{gathered} {\tilde{z}}^{(i)}=\gamma z_{norm}^{(i)}+\beta \\ 如果\gamma ，\beta 如下: \\ \gamma =\sqrt{{\sigma }^2+ϵ} \\ \beta =\mu \\ 那么：{\tilde{z}}^{(i)}=z^{(i)} \end{gathered}$$

2.把batch norm拟合进神经网络

使用的位置

前向传播中：在计算出z后，使用激活函数前

每个单元负责计算两件事。第一，它先计算 𝑧，然后应用其到激活函数中再计算 𝑎 。每个圆圈代表着两步的计算过程。

batch norm拟合进神经网络

1. 没有应用 Batch 归一化:

   把输入𝑋拟合到第一隐藏层，然后首先应用 𝑤^[1] 和 𝑏^[1] 计算 𝑧^[1]。

   接着，把 𝑧^[1] 拟合到激活函数以计算 𝑎^[1]。

2. 应用 Batch 归一化：Batch 归一化是发生在计算𝑧和𝑎之间的。

   • 把输入𝑋拟合到第一隐藏层，然后首先应用 𝑤^[1] 和 𝑏^[1] 计算 𝑧^[1]。

   • （第一层）将 𝑧^[1] 值进行 Batch 归一化，简称 BN，此过程将由 𝛽^[1] 和 𝛾^[1] 两参数控制，这一操作会给你一个新的规范化的 𝑧^[1] 值（𝑧̃^[1] ），然后将其输入激活函数中得到 𝑎^[1]，即 𝑎^[1] = 𝑔^[1] (𝑧̃^[l]）。

   • （第二层）应用 𝑎^[1] 值来计算 𝑧^[2]，此过程是由 𝑤^[2] 和 𝑏^[2] 控制的。与你在第一层所做的类似，通过 𝛽^[2] 和 𝛾^[2] 将 𝑧^[2] 进行 Batch 归一化，得到 𝑧̃^[2]，再通过激活函数计算出 𝑎^[2]。

   注意：这里的这些（ 𝛽^[1]， 𝛽^[2]等等）和超参数𝛽没有任何关系。

   （ 𝛽^[1]， 𝛽^[2]等等）是算法的新参数 ，接下来你可以使用想用的任何一种优化算法，比如使用梯度下降法来执行它。更新参数 𝛽为 𝛽^[l] = 𝛽^[l] - 𝛼 𝑑𝛽^[l]。你也可以使用 Adam 或 RMSprop 或 Momentum，以更新参数 𝛽 和 𝛾，并不是只应用梯度下降法。

   后者是用于 Momentum、 Adam、 RMSprop 或计算各个指数的加权平均值。

batch norm与minibatch一起使用

第一个 mini-batch：𝑋^{1}

• 应用参数𝑤^[1]和𝑏^[1] ，计算𝑧^[1]
• Batch 归一化减去均值，除以标准差，由𝛽^[1]和𝛾^[1]得到𝑧̃^[1]
• 再应用激活函数得到𝑎^[1]
• 应用参数𝑤^[2]和𝑏^[2]，计算𝑧^[2]
• 然后继续下去

继续第二个 mini-batch：𝑋^{2}

继续第三个 mini-batch：𝑋^{3}

𝑏^[l]参数没有意义

在使用 Batch 归一化，其实你可以消除参数 𝑏^[l]，或者设置为 0，参数变成𝑧^[l] = 𝑤^[l]𝑎[^[l-1]

然后对𝑧^[l]进行归一化，𝑧̃^[l] = 𝛾^[l]z^[l] +𝛽^[l]，最后会用参数𝛽^[l]，以便决定𝑧̃^[l]的取值。

**总结：**Batch 归一化，z^[l]所有的偏移最终都由归一化确定了， 𝑏^[l]参数没有意义，所以由控制参数𝛽^[l]代替来影响转移或偏置条件。

3.batch norm为什么好用？

问题的提出

如上图，如果你的训练集是左边的那些黑猫，那么你的训练样本分布可以由左侧坐标系图代替。如果你的训练集是右边那些花猫，那么你的样本分布可由右侧坐标图代替。

假设你分别用两组训练集训练两个模型，那么由于样本分布不同，最后得到的“找猫函数”也会不同。

现在你希望有一个模型，能同时识别黑猫和不同颜色的猫，但是由上可知，如果你同时用黑猫和花猫的训练集进行训练，就容易让神经元感到“迷惑”

总结

1. Batch 归一化，从神经网络后层角度而言，前层不会左右移动的那么多，因为被均值和方差所限制，使后层的学习工作变得更容易些。
2. Batch 归一化有轻微正则化效果

4.测试时的batch norm

$$\begin{gathered} \mu =\frac{1}{m}\sum _i^m{z}^{(i)} \\ {\sigma }_{norm}^2=\frac{1}{m}\sum _i^m(z_i-\mu {)}^2 \\ {z}_{norm}^{(i)}=\frac{z^{(i)}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2+ϵ}} \\ {\tilde{z}}^{(i)}=\gamma z_{norm}^{(i)}+\beta \end{gathered}$$

测试时，我们可能不使用minibatch，而是一个一个的过训练样本。这个时候训练集的平均数 𝜇 和方差 𝜎² 怎么获得呢？

1. 使用指数加权平均计算

2. 使用流动平均来粗略估算

3. 使用深度学习框架自默认的方式估算

十一、Softmax 回归

1.Softmax 回归简介

简介

softmax回归是logistic回归的一般形式，它做的不只是二分分类，也可以做多分分类

区分四个种类（class），0-其他、1-猫、2-狗、3-鸡

定义C为种类数，这里C=4，可以看到输出层有四个神经元，他们分别输出结果是0、1、2、3的概率，且总和为1 ，输出结果是一个4*1的向量。

计算方法

左侧是softmax输出层激活函数计算方法：
$$\begin{gathered} z^{[l]}=W^{[l]}{a}^{[l-1]}+b^{[l]} \\ Softmax激活函数:a^{[l]}=g^{[l]}(z^{[l]}) \\ t=e^{z^{[l]}} \\ {a}^{[l]}=\frac{e^{z^{[l]}}}{{\sum }_{j=1}^4{t}_i} \\ {a}_i^{[l]}=\frac{t_i}{{\sum }_{j=1}^4{t}_i} \end{gathered}$$
右侧是一个例子：

softmax回归举例

2.训练一个 Softmax 分类器

Softmax 名称来源

hardmax 会把向量𝑧变成这个向量[1 0 0 0]， 与hardmax 对比，Softmax所做的从𝑧到概率的映射更为温和

怎样训练带有 Softmax 输出层的神经网络

举例：单个样本为猫，这个样本中神经网络的表现不佳，这实际上是一只猫，但却只分配到 20%是猫的概率，所以在本例中表现不佳。

用什么损失函数来训练这个神经网络?

损失函数：
$$\begin{gathered} L(\hat{y},y)=-\sum _{j=1}^C{y}_{j}log{\hat{y}}_j \\ {y}_1=y_3=y_4=0，y_2=1，则L(\hat{y},y)=-log{\hat{y}}_2 \\ L(\hat{y},y)越小越好，则{\hat{y}}_2需要尽量大 \end{gathered}$$

反向传播步骤或者梯度下降法

公式：
$$d{z}^{[l]}=\hat{y}-y$$