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矩阵运算_矩阵的协方差矩阵/两个矩阵的协方差矩阵_求解详细步骤示例

article 2024/9/22 1:11:47

1. 协方差矩阵定义

在统计学中，方差是用来度量单个随机变量的离散程度，而协方差则一般用来刻画两个随机变量的相似程度。

参考：带你了解什么是Covariance Matrix协方差矩阵 - 知乎

2. 协方差矩阵计算过程

将输入数据A进行中心化处理得到A'。即通过减去每个维度的平均值来实现中心化。
- 注意：平均值的计算有两种方式，按行计算（如numpy）和按列计算（如matlab），两者结果是不一样的，但原理是一样的，本文采用按行计算平均值为例。
- 按列计算均值（每一行是一个observation（样本），那么每一列就是一个随机变量（特征））的一个实例：协方差矩阵计算方法_如何算瞬时协方差矩阵-CSDN博客
对于按行计算方式：协方差矩阵等于去中心化后的数据A'乘以A'的转置矩阵, 然后除以（列数-1）。如果输入数据的维度为（N，M），则该乘积的形状为（N，M）和（M，N），得到一个形状为（N，N）的矩阵。即对于NxM的矩阵A, 去中心化后的矩阵为A', 则协方差等于：
- $cov(A_{N\times M}) =\frac{1}{M-1}A'A'^{T}$

3. 示例

一个矩阵A的协方差矩阵计算

设2x4的矩阵A为：

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 1\\ 2& 3& 2 & 5 \end{bmatrix}$

按行计算均值，意味着每一列是一个observation（样本），那么每一行就是一个随机变量（特征），举例如对于随机变量X,Y, 有四组采样结果(1,2), (2,3), (4,2), (1,5), 写成矩阵相乘的形式为：

$\begin{bmatrix} X & Y \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 1\\ 2& 3& 2 & 5 \end{bmatrix}$

则均值向量为

$a = \begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

去中心化后的矩阵A'为：

$A' = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & -1\\ -1 &0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$

则协方差矩阵cov(A)为：

$cov(A)=\frac{1}{4-1} A'A'^T$

$cov(A)=\frac{1}{3}\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & -1\\ -1 &0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1\\ 0 & 0\\ 2 & -1\\ -1& 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}$

所以,

$cov(A) ==\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

代码numpy验算

import numpy as np

A = np.array([[1, 2, 4, 1], [2, 3, 2, 5]])
print("======= cov(A) =======")
print(np.cov(A))

mean_A = np.mean(A,axis=1,keepdims=True)
print("======= mean_A =======")
print(mean_A)

A1 = A - mean_A
print("======= A - mean_A =======")
print(A1)

covA =np.matmul(A1, A1.T)/(A1.shape[1]-1)
print("======= covA =======")
print(covA)

输出结果：

两个矩阵A、B的协方差矩阵计算

设矩阵A (维度NxM), B (维度NxM)，去中心化后的矩阵为A', B', 则两个矩阵的协方差矩阵cov(A,B)为：

$cov(A,B) = \frac{1}{M-1}\begin{bmatrix} A'A'^T& A'B'^T \\ B'A'^T& B'B'^T \end{bmatrix}$

设A,B （维度为2x4）值分别为：

$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & 1\\ 2& 3& 2 & 5 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} 5 & 3& 4 & 4\\ 2& 2& 8 & 8 \end{bmatrix}$

则按行求平均值, 得平均值向量为 $a=[2,3]^T$ , $b = [4,5]^T$ , 去中心化后，得到：

$A' = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & -1\\ -1 &0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$ ， $B' = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\ -3 & -3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

则其协方差矩阵 cov(A,B)（维度为4x4）为

$cov(A,B) = \frac{1}{3}\begin{bmatrix} A'A'^T& A'B'^T \\ B'A'^T& B'B'^T \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -\frac{1}{3} & 2\\ -1 & 2 & -\frac{1}{3} & 2\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} &\frac{2}{3} & 0 \\ 2& 2& 0 & 12 \end{bmatrix}$

性质： $cov(B,A) = (cov(A,B))^T$

代码numpy验算


A = np.array([[1, 2, 4, 1], [2, 3, 2, 5]])
B = np.array([[5, 3, 4, 4], [2, 2, 8, 8]])

B1 = B - np.mean(B,axis=1,keepdims=True)
A1 = A - np.mean(A,axis=1,keepdims=True)

C11 = np.cov(A)
C22 = np.cov(B)
C12 = np.matmul(A1, B1.T)/(B1.shape[1]-1)
C21 = np.matmul(B1, A1.T)/(A1.shape[1]-1)

C = np.vstack((np.hstack((C11,C12)),np.hstack((C21,C22))))

print("======= np.cov(A,B) =======")
print(np.cov(A,B))

print("======= C =======")
print(C)

结果：