1、时间复杂度

1、什么是时间复杂度？

• 算法的执行效率
• 算法的执行时间与算法的输入值之间的关系

2、什么是大O表示法？

• O(N)，其中N指的是例1中的num，N = num

【例1：】

def test(num):
    total = 0             # 执行时间为：a；
    for i in range(num):
        total += i        # 执行时间为：b；num次为：num * b；
    return total          # 执行时间为：c；
# 所以test类的时间复杂度 = a + num * b + c

所以当num很大时，那么test类的时间复杂度主要基于num * b。那么例1中对时间复杂度影响最大的就是这个for循环。最后定义例1的时间复杂度为O(N)。

1.1、常见的时间复杂度案例

常见的时间复杂度：$O(1)$、$O(logn)$、$O(n)$、$O(nlogn)$、$O(n^2)$
【例2：$O(1)$】

def o1(num):
	i = num         # 执行时间为：a；
	j = num * 2     # 执行时间为：b；
	return i + j    # 执行时间为：c；
# 所以o1类的时间复杂度 = a + b + c，为常量，和num的个数无关

定义例2的时间复杂度为O(1)。
【例3：$O(N)$】

def ON(num):
    total = 0             # 执行时间为：a；
    for i in range(num):
        total += i        # 执行时间为：b；num次为：num * b；
    return total          # 执行时间为：c；
# 所以test类的时间复杂度 = a + num * b + c，和num的个数有关

定义例3的时间复杂度为O(N)。
【例4：$O(logN)$】

def OlogN(num):
    i = 1             # 执行时间为：a；
    while (i < num):
        total = i * 2        # 执行时间为：b；X次为：num = i*2^X，X = log2(num/i)
    return i         # 执行时间为：c；
# 所以test类的时间复杂度 = log2(num/i)，和num的个数有关，因为i为常数，可忽略

定义例4的时间复杂度为O(logN)。
【例5：$O(N+M)$】

def ON(num1, num2):
    total = 0             # 执行时间为：a；
    for i in range(num1):
        total += i        # 执行时间为：b；num次为：num1 * b；
    for i in range(num2):
        total += i        # 执行时间为：b；num次为：num2 * b；
    return total          # 执行时间为：c；
# 所以test类的时间复杂度 = a + num1 * b + num2 * b + c，和num的个数有关

定义例5的时间复杂度为O(N + M)。

【例6：$O(NlogN)$】

def OlogN(num):
    i = 1             # 执行时间为：a；
    for i in range(num1):         # 执行 num1次
    	while (i < num2):
        	total += i + j        # 执行时间为：b；X次为：num2 = i*2^X，X = log2(num2/i)
        	j = j * 2
    return i         # 执行时间为：c；
# 所以test类的时间复杂度 = (num1)*log2(num2/i)，和num的个数有关，因为i为常数，可忽略

定义例4的时间复杂度为NO(logN)。
【例5：$O(N+M)$】

def ON(num1, num2):
    total = 0             # 执行时间为：a；
    for i in range(num1):
    	for i in range(num2):
        	total += i + j        # 执行时间为：b；num1 * num2次为：num1 * num2 * b；
    return total          # 执行时间为：c；
# 所以test类的时间复杂度 = a + num1 * num2 * b + c，和num的个数有关

定义例4的时间复杂度为$O(N^2)$。

1.2、时间复杂度大小对比图

时间复杂度从大到小排列：$O(N!)$ > $O(2^N)$ > $O(N^2)$ > $O(NlogN)$ > $O(N)$ > $O(logN)$ > $O(1)$

空间复杂度

1、什么是空间复杂度？

• 算法的存储空间与算法的输入值之间的关系（占空间的都是我们申明的变量）

2、大O表示法？

• O(N)，其中N指的是例1中的num，N = num

1.1、常见的空间复杂度案例

常用的空间复杂度就这两种。

理解

空间复杂度一般指的就是磁盘空间，所以工作中一般优先时间复杂度。