深入理解OS--数值编码

信息的表示和处理

寻址和字节顺序

位于0x100处，int类型值0x01234567在大端和小端下的存储。
字符串的存储不受字节序影响。

移位

1.对左移，右边统一补0
2.对右移，分为算术右移，逻辑右移
算术右移下，左边补原最高有效位
逻辑右移下，左边补0
默认对有符号数采用算术右移，对无符号数采用逻辑右移。

无符号编码

$$\overrightarrow{x}=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]$$
$$B2U_w(\overrightarrow{x})=\sum _{i=0}^{w-1}(x_i\ast 2^i)$$

1.给定一个w个二进制数组组成的序列，B2U_w是对此序列进行的一种解释，解释的结果是将w个二进制数组成的序列映射为一个数值。
2.B2U_w将每个长度为w的位向量映射为$[0,2^w-1]$中一个唯一的值。
U2B_w将每个$[0,2^w-1]$中的值映射为一个唯一的长为w的位向量。

补码编码

$$\overrightarrow{x}=[x_{w-1},x_{w-2},...,x_0]$$
$$B2T_w(\overrightarrow{x})=\sum _{i=0}^{w-2}(x_i\ast 2^i)-x_{w-1}\ast 2^{w-1}$$

1.给定一个w个二进制数组组成的序列，B2T_w是对此序列进行的一种解释，解释的结果是将w个二进制数组成的序列映射为一个数值。
2.B2T_w将每个长度为w的位向量映射为$[-2^{w-1},2^{w-1}-1]$中一个唯一的值。T2B_w将每个$[-2^{w-1},2^{w-1}-1]$中的值映射为一个唯一的长为w的位向量。

3.补码的形象解释
有符号数在计算机中是以「补码」表示的，对负数其补码就是把关联正数的二进制全部取反再加 1，比如 -1 的二进制是把数字 1 的二进制取反后再加 1


4.为何有符号数采用补码表示？
如果负数不是使用补码的方式表示，则在做基本对加减法运算的时候，还需要多一步操作来判断是否为负数，如果为负数，还得把加法反转成减法，或者把减法反转成加法，这就非常不好了，毕竟加减法运算在计算机里是很常使用的，所以为了性能考虑，应该要尽量简化这个运算过程。

而用了补码的表示方式，对于负数的加减法操作，实际上是和正数加减法操作一样的。你可以看到下图，用补码表示的负数在运算 -2 + 1 过程的时候，其结果是正确的：

采用补码表示下，有符号数的加法可以采用简单的二进制位逐位相加的方式。补码减法也可变形为加法来操作。

类型转换

强制类型转换的结果保持二进制位不变，只是改变对这些位解释的方式。

浮点数

1.十进制浮点数转换为二进制

最后把「整数部分 + 小数部分」结合在一起后，其结果就是 1000.101。但是，并不是所有小数都可以用二进制表示，前面提到的 0.625 小数是一个特例，刚好通过乘 2 取整法的方式完整的转换成二进制。

如果我们用相同的方式，来把 0.1 转换成二进制，过程如下：

可以发现，0.1 的二进制表示是无限循环的。
由于计算机的资源是有限的，所以是没办法用二进制精确的表示 0.1，只能用「近似值」来表示，就是在有限的精度情况下，最大化接近 0.1 的二进制数，于是就会造成精度缺失的情况。

举个例子，二进制 1010.101 转十进制的过程，如下图：

2.科学记数法与规格化
比如有个很大的十进制数 1230000，我们可以也可以表示成 1.23 x 10^6，这种方式就称为科学记数法。
该方法在小数点左边只有一个数字，而且把这种整数部分没有前导 0 的数字称为规格化，比如 1.0 x 10^(-9) 是规格化的科学记数法，而 0.1 x 10^(-9) 和 10.0 x 10^(-9) 就不是了。

3.浮点数的二进制存储
如果二进制要用到科学记数法，同时要规范化，那么不仅要保证基数为 2，还要保证小数点左侧只有 1 位，而且必须为 1。
所以通常将 1000.101 这种二进制数，规格化表示成 1.000101 x 2^3，其中，最为关键的是 000101 和 3 这两个东西，它就可以包含了这个二进制小数的所有信息：
(1).000101 称为尾数，即小数点后面的数字；
(2).3 称为指数，指定了小数点在数据中的位置；

现在绝大多数计算机使用的浮点数，一般采用的是 IEEE 制定的国际标准，这种标准形式如下图：

这三个重要部分的意义如下：
(1).符号位：表示数字是正数还是负数，为 0 表示正数，为 1 表示负数；
(2).指数位：指定了小数点在数据中的位置，指数可以是负数，也可以是正数，指数位的长度越长则数值的表达范围就越大；
(3).尾数位：小数点右侧的数字，也就是小数部分，比如二进制 1.0011 x 2^(-2)，尾数部分就是 0011，而且尾数的长度决定了这个数的精度，因此如果要表示精度更高的小数，则就要提高尾数位的长度；

用 32 位来表示的浮点数，则称为单精度浮点数，也就是我们编程语言中的 float 变量，而用 64 位来表示的浮点数，称为双精度浮点数，也就是 double 变量，它们的结构如下：

可以看到：
(1).double 的尾数部分是 52 位，float 的尾数部分是 23 位，由于同时都带有一个固定隐含位（这个后面会说），所以 double 有 53 个二进制有效位，float 有 24 个二进制有效位，所以所以它们的精度在十进制中分别是 log10(2^53) 约等于 15.95 和 log10(2^24) 约等于 7.22 位，因此 double 的有效数字是 15~16 位，float 的有效数字是 7~8 位，这些有效位是包含整数部分和小数部分；
(2).double 的指数部分是 11 位，而 float 的指数位是 8 位，意味着 double 相比 float 能表示更大的数值范围；

那二进制小数，是如何转换成二进制浮点数的呢？
我们就以 10.625 作为例子，看看这个数字在 float 里是如何存储的。

首先，我们计算出 10.625 的二进制小数为 1010.101。

然后把小数点，移动到第一个有效数字后面，即将 1010.101 右移 3 位成 1.010101，右移 3 位就代表 +3，左移 3 位就是 -3。

float 中的「指数位」就跟这里移动的位数有关系，把移动的位数再加上「偏移量」，float 的话偏移量是 127，相加后就是指数位的值了，即指数位这 8 位存的是 10000010（十进制 130），因此你可以认为「指数位」相当于指明了小数点在数据中的位置。

1.010101 这个数的小数点右侧的数字就是 float 里的「尾数位」，由于尾数位是 23 位，则后面要补充 0，所以最终尾数位存储的数字是 01010100000000000000000。

在算指数的时候，你可能会有疑问为什么要加上偏移量呢？

前面也提到，指数可能是正数，也可能是负数，即指数是有符号的整数，而有符号整数的计算是比无符号整数麻烦的，所以为了减少不必要的麻烦，在实际存储指数的时候，需要把指数转换成无符号整数。

float 的指数部分是 8 位，IEEE 标准规定单精度浮点的指数取值范围是 -126 ~ +127，于是为了把指数转换成无符号整数，就要加个偏移量，比如 float 的指数偏移量是 127，这样指数就不会出现负数了。

细心的朋友肯定发现，移动后的小数点左侧的有效位（即 1）消失了，它并没有存储到 float 里。

这是因为 IEEE 标准规定，二进制浮点数的小数点左侧只能有 1 位，并且还只能是 1，既然这一位永远都是 1，那就可以不用存起来了。

于是就让 23 位尾数只存储小数部分，然后在计算时会自动把这个 1 加上，这样就可以节约 1 位的空间，尾数就能多存一位小数，相应的精度就更高了一点。

那么，对于我们在从 float 的二进制浮点数转换成十进制时，要考虑到这个隐含的 1，转换公式如下：

举个例子，我们把下图这个 float 的数据转换成十进制，过程如下：

4.浮点数精度：0.1 + 0.2 == 0.3 ?


这两个结果相加就是 0.300000004470348358154296875：

所以，你会看到在计算机中 0.1 + 0.2 并不等于完整的 0.3。

这主要是因为有的小数无法可以用「完整」的二进制来表示，所以计算机里只能采用近似数的方式来保存，那两个近似数相加，得到的必然也是一个近似数。

而我们二进制只能精准表达 2 除尽的数字 1/2, 1/4, 1/8，但是对于 0.1(1/10) 和 0.2(1/5)，在二进制中都无法精准表示时，需要根据精度舍入。

我们人类熟悉的十进制运算系统，可以精准表达 2 和 5 除尽的数字，例如 1/2, 1/4, 1/5(0.2), 1/8, 1/10(0.1)。

当然，十进制也有无法除尽的地方，例如 1/3, 1/7，也需要根据精度舍入。

当E中全部为二进制1时，因为IEEE 标准规定单精度浮点的指数取值范围是 -126 ~ +127，此时计算出来255 - 127 = 128超出范围了。所以，此时：
(1).当尾数部分部分不全为0时，表示NaN。表示浮点数不存在。
(2).当尾数部分全为0时，表示正无穷（符号位为0）或者负无穷（符号位为1）。

当E中全部为二进制0时，因为IEEE 标准规定单精度浮点的指数取值范围是 -126 ~ +127，此时计算出来0 - 127 = -127超出范围了。所以，此时：
数值为：$(-1{)}^{符号位}\ast (0+尾数位)\ast 2^{-127}$

1.从int转成float，数字不会溢出，但可能被舍入。
2.从int或float转成double，可保留精确数值
3.从double换成float，可能溢出为正无穷，负无穷。可能被舍入。
4.从float或double转成int，可能会溢出。值将向0舍入。
溢出体现在超出表示范围，舍入体现在稠密映射到稀疏下，无法精确的一一映射，但可映射到最接近的。