随机过程 Brown 运动(上)
文章目录
- 随机过程 Brown 运动(上)
- 基本概念与性质
- Guass 过程
- Brown 运动的鞅性质
- Brown 运动的 Markov 性
随机过程 Brown 运动(上)
基本概念与性质
例:(随机游走)设有一个粒子在直线上随机游动,每个单位时间内等可能地向左或向右移动一个单位长度,现在加速这个过程,在越来越小的时间间隔中走越来越小的步子。令每隔
Δ
t
\Delta t
Δt 时间向左或向右移动
Δ
x
\Delta x
Δx 的距离。如果以
X
(
t
)
X(t)
X(t) 记时刻
t
t
t 粒子的位置,则
X
(
t
)
=
Δ
x
(
X
1
+
X
2
+
⋯
+
X
[
t
/
Δ
t
]
)
X(t)=\Delta x(X_1+X_2+\cdots+X_{[t/\Delta t]})
X(t)=Δx(X1+X2+⋯+X[t/Δt])
其中
[
t
/
Δ
t
]
[t/\Delta t]
[t/Δt] 代表取整。并且:
X
i
=
{
+
1
如果第
i
步向右
−
1
如果第
i
步向左
X_i=\left\{ \begin{array}{ll} +1 & \text{如果第}i\text{步向右}\\ -1 & \text{如果第}i\text{步向左} \end{array} \right.
Xi={+1−1如果第i步向右如果第i步向左
假设
X
i
X_i
Xi 之间相互独立,而且:
P
(
X
i
=
1
)
=
P
(
X
i
=
−
1
)
=
1
2
P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}
P(Xi=1)=P(Xi=−1)=21
我们有
E
(
X
i
)
=
0
E(X_i)=0
E(Xi)=0 ,
V
a
r
(
X
i
)
=
1
Var(X_i)=1
Var(Xi)=1 ,因此
E
(
X
(
t
)
)
=
0
E(X(t))=0
E(X(t))=0 ,
V
a
r
(
X
(
t
)
)
=
(
Δ
x
)
2
[
t
/
Δ
t
]
Var(X(t))=(\Delta x)^2[t/\Delta t]
Var(X(t))=(Δx)2[t/Δt] ;我们现在要使得
Δ
x
\Delta x
Δx 和
Δ
t
\Delta t
Δt 趋于 0,来得到 Brown 运动:
- 若取 Δ t = ( Δ x ) 3 \Delta t=(\Delta x)^3 Δt=(Δx)3 ,则 V a r ( X ( t ) ) → ∞ Var(X(t))\to \infty Var(X(t))→∞ ,这不太合理,因为粒子运动是连续的,不可能在很短时间内离开出发点;
- 若取 Δ t = Δ x \Delta t=\Delta x Δt=Δx ,则 V a r ( X ( t ) ) → 0 Var(X(t))\to 0 Var(X(t))→0 ,这不太合理,因为这意味着粒子每个时刻运动到的位置是固定的;
我们取 Δ x = σ Δ t \Delta x=\sigma\sqrt{\Delta t} Δx=σΔt ,其中 σ \sigma σ 是某个正常数。则 E ( X ( t ) ) → 0 E(X(t))\to 0 E(X(t))→0 , V a r ( X ( t ) ) → σ 2 t Var(X(t))\to \sigma^2 t Var(X(t))→σ2t . 这一极限过程具有以下性质:
-
X ( t ) X(t) X(t) 服从均值为 0 0 0 ,方差为 σ 2 t \sigma^2 t σ2t 的正态分布(中心极限定理)
-
{ X ( t ) , t ≥ 0 } \{\, X(t),\,t\geq 0 \,\} {X(t),t≥0} 具有独立增量(因为随机游动的值在不重叠的时间区间中的变化是独立的)
-
{ X ( t ) , t ≥ 0 } \{\, X(t),\,t\geq 0 \,\} {X(t),t≥0} 具有平稳增量(因为随机游动任一时间区间中的位置变化的分布只依赖于时间区间的长度)
Brown 运动:随机过程 { X ( t ) , t ≥ 0 } \{\, X(t),\,t\geq 0 \,\} {X(t),t≥0} 如果满足:
- X ( 0 ) = 0 X(0)=0 X(0)=0 ;
- { X ( t ) , t ≥ 0 } \{\, X(t),\,t\geq 0 \,\} {X(t),t≥0} 有平稳独立增量;
- 对每个 t ≥ 0 t\geq 0 t≥0 , X ( t ) X(t) X(t) 服从正态分布 N ( 0 , σ 2 t ) N(0,\,\sigma^2t) N(0,σ2t) ;
则称 { X ( t ) , t ≥ 0 } \{\, X(t),\,t\geq 0 \,\} {X(t),t≥0} 为 Brown 运动,也称为 Wiener 过程,常记为 { B ( t ) , t ≥ 0 } \{B(t),\,t\geq 0\} {B(t),t≥0} 或 { W ( t ) , t ≥ 0 } \{W(t),\,t\geq 0\} {W(t),t≥0} ;
标准 Brown 运动:若 σ = 1 \sigma=1 σ=1 ,则称 { B ( t ) , t ≥ 0 } \{B(t),\,t\geq 0\} {B(t),t≥0} 为标准 Brown 运动;若 σ ≠ 1 \sigma\not=1 σ=1 ,我们可以考虑 { X ( t ) / σ , t ≥ 0 } \{\, X(t)/\sigma,\,t\geq 0 \,\} {X(t)/σ,t≥0} ,因此不失一般性,我们可以只考虑标准 Brown 运动的情形。
Def:(Brown 运动的等价定义)Brown 运动是具有下述性质的随机过程 { B ( t ) , t ≥ 0 } \{B(t),\,t\geq 0\} {B(t),t≥0} :
- 正态增量: ∀ 0 ≤ s < t \forall\, 0\leq s\lt t ∀0≤s<t , B ( t ) − B ( s ) ∼ N ( 0 , t − s ) B(t)-B(s)\sim N(0,\,t-s) B(t)−B(s)∼N(0,t−s) ;当 s = 0 s=0 s=0 时, B ( t ) − B ( 0 ) ∼ N ( 0 , t ) B(t)-B(0)\sim N(0,\,t) B(t)−B(0)∼N(0,t) ;
- 独立增量: ∀ 0 ≤ s < t \forall\, 0\leq s\lt t ∀0≤s<t , B ( t ) − B ( s ) B(t)-B(s) B(t)−B(s) 独立于过去的状态 B ( u ) B(u) B(u)( 0 ≤ u ≤ s 0\leq u\leq s 0≤u≤s);
- 路径的连续性: B ( t ) B(t) B(t) ( t ≥ 0 t\geq 0 t≥0)是 t t t 的连续函数;
注意:第二种定义中并没有假设
B
(
0
)
=
0
B(0)=0
B(0)=0,因此称之为始于
x
x
x 的 Brown 运动。有时为了强调起始点,也记为
{
B
x
(
t
)
}
\{B^x(t)\}
{Bx(t)} ,这样,第一个定义就是
{
B
0
(
t
)
}
\{B^0(t)\}
{B0(t)} ,并且显然有:
B
x
(
t
)
−
x
=
B
0
(
t
)
B^x(t)-x=B^0(t)
Bx(t)−x=B0(t)
空间齐次性:设随机过程
{
X
(
t
)
,
t
≥
0
}
\{\, X(t),\,t\geq 0 \,\}
{X(t),t≥0} ,如果它的有限维分布是空间平移不变的,即:
P
(
X
(
t
1
)
≤
x
1
,
X
(
t
2
)
≤
x
2
,
⋯
,
X
(
t
n
)
≤
x
n
∣
X
(
0
)
=
0
)
=
P
(
X
(
t
1
)
≤
x
1
+
x
,
X
(
t
2
)
≤
x
2
+
x
,
⋯
,
X
(
t
n
)
≤
x
n
+
x
∣
X
(
0
)
=
x
)
\begin{align} &\,P(X(t_1)\leq x_1,\,X(t_2)\leq x_2,\,\cdots,\,X(t_n)\leq x_n\,|\,X(0)=0) \\ =&\,P(X(t_1)\leq x_1+x,\,X(t_2)\leq x_2+x,\,\cdots,\,X(t_n)\leq x_n+x\,|\,X(0)=x) \end{align}
=P(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,⋯,X(tn)≤xn∣X(0)=0)P(X(t1)≤x1+x,X(t2)≤x2+x,⋯,X(tn)≤xn+x∣X(0)=x)
则称此过程为空间齐次的
例:设 { B ( t ) , t ≥ 0 } \{B(t),\,t\geq 0\} {B(t),t≥0} 为标准 Brown 运动,计算 P ( B ( 2 ) ≤ 0 ) P(B(2)\leq 0) P(B(2)≤0) 和 P ( B ( t ) ≤ 0 , t = 0 , 1 , 2 ) P(B(t)\leq 0,\,t=0,\,1,\,2) P(B(t)≤0,t=0,1,2)
解:有 B ( 2 ) ∼ N ( 0 , 2 ) B(2)\sim N(0,\,2) B(2)∼N(0,2) ,因此 P ( B ( 2 ) ≤ 0 ) = 1 2 P(B(2)\leq 0)=\frac{1}{2} P(B(2)≤0)=21
P
(
B
(
t
)
≤
0
,
t
=
0
,
1
,
2
)
P(B(t)\leq 0,\,t=0,\,1,\,2)
P(B(t)≤0,t=0,1,2) 代表粒子在 0、1、2 时刻的位移均不大于 0 的概率。由于
B
(
0
)
=
0
B(0)=0
B(0)=0 ,因此:
P
(
B
(
t
)
≤
0
,
t
=
0
,
1
,
2
)
=
P
(
B
(
t
)
≤
0
,
t
=
1
,
2
)
=
P
(
B
(
1
)
≤
0
,
B
(
2
)
≤
0
)
P(B(t)\leq 0,\,t=0,\,1,\,2)=P(B(t)\leq 0,\,t=1,\,2)=P(B(1)\leq0,\,B(2)\leq0)
P(B(t)≤0,t=0,1,2)=P(B(t)≤0,t=1,2)=P(B(1)≤0,B(2)≤0)
虽然
B
(
1
)
B(1)
B(1) 和
B
(
2
)
B(2)
B(2) 不是相互独立的,但是
B
(
1
)
B(1)
B(1) 和
B
(
2
)
−
B
(
1
)
B(2)-B(1)
B(2)−B(1) 是相互独立的,即
B
(
2
)
=
B
(
1
)
+
[
B
(
2
)
−
B
(
1
)
]
B(2)=B(1)+[B(2)-B(1)]
B(2)=B(1)+[B(2)−B(1)] ,有:
P
(
B
(
1
)
≤
0
,
B
(
2
)
≤
0
)
=
P
(
B
(
1
)
≤
0
,
B
(
1
)
+
[
B
(
2
)
−
B
(
1
)
]
≤
0
)
=
P
(
B
(
1
)
≤
0
,
B
(
2
)
−
B
(
1
)
≤
−
B
(
1
)
)
=
∫
−
∞
0
P
(
B
(
2
)
−
B
(
1
)
≤
−
x
)
φ
(
x
)
d
x
=
∫
−
∞
0
Φ
(
−
x
)
d
Φ
(
x
)
=
∫
0
∞
Φ
(
x
)
φ
(
−
x
)
d
x
=
∫
0
∞
Φ
(
x
)
φ
(
x
)
d
x
=
∫
0
∞
Φ
(
x
)
d
Φ
(
x
)
=
∫
0
∞
x
d
x
=
1
2
\begin{align} P(B(1)\leq0,\,B(2)\leq0)=&\,P(B(1)\leq0,\,B(1)+[B(2)-B(1)]\leq 0) \\ =&\,P(B(1)\leq0,\,B(2)-B(1)\leq -B(1)) \\ =&\,\int_{-\infty}^0P(B(2)-B(1)\leq-x)\varphi(x)\,dx \\ =&\,\int_{-\infty}^0\Phi(-x)d\,\Phi(x) \\ =&\,\int^{\infty}_0\Phi(x)\varphi(-x) \,dx \\ =&\,\int^{\infty}_0\Phi(x)\varphi(x) \,dx \\ =&\,\int^{\infty}_0\Phi(x)d\,\Phi(x) \\ =&\,\int^{\infty}_0x\,dx=\frac{1}{2} \end{align}
P(B(1)≤0,B(2)≤0)========P(B(1)≤0,B(1)+[B(2)−B(1)]≤0)P(B(1)≤0,B(2)−B(1)≤−B(1))∫−∞0P(B(2)−B(1)≤−x)φ(x)dx∫−∞0Φ(−x)dΦ(x)∫0∞Φ(x)φ(−x)dx∫0∞Φ(x)φ(x)dx∫0∞Φ(x)dΦ(x)∫0∞xdx=21
- 第四个等号由 Brown 运动的第二个定义得到,增量服从正态分布
- 第六个等号是因为正态分布的概率密度函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) 是个偶函数
转移概率密度:若 Brown 运动
{
B
(
t
)
,
t
≥
0
}
\{B(t),\,t\geq 0\}
{B(t),t≥0} 从
x
x
x 开始,
B
(
0
)
=
x
B(0)=x
B(0)=x ,则
B
(
t
)
∼
N
(
x
,
t
)
B(t)\sim N(x,\,t)
B(t)∼N(x,t) ,于是:
P
x
(
B
(
t
)
∈
(
a
,
b
)
)
=
∫
a
b
1
2
π
t
e
−
(
y
−
x
)
2
t
2
d
y
P_x(B(t)\in(a,\,b))=\int_a^b\frac{1}{\sqrt{2\pi}t}e^{-\frac{(y-x)^2}{t^2}}\,dy
Px(B(t)∈(a,b))=∫ab2πt1e−t2(y−x)2dy
其中概率
P
x
P_x
Px 的下标代表过程始于
x
x
x ,被积函数
p
t
(
x
,
y
)
=
1
2
π
t
e
−
(
y
−
x
)
2
t
2
p_t(x,\,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}t}e^{-\frac{(y-x)^2}{t^2}}
pt(x,y)=2πt1e−t2(y−x)2 称为 Brown 运动的转移概率密度。利用独立增量性和转移概率密度,我们可以计算任意 Brown 运动的有限维分布:
P
x
(
B
(
t
1
)
≤
x
1
,
B
(
t
2
)
≤
x
2
,
⋯
,
B
(
t
n
)
≤
x
n
)
=
∫
−
∞
x
1
p
t
1
(
x
,
y
1
)
d
y
1
∫
−
∞
x
2
p
t
2
(
y
1
,
y
2
)
d
y
2
⋯
∫
−
∞
x
n
p
t
n
(
y
n
−
1
,
y
n
)
d
y
n
\begin{align} &\,P_x(B(t_1)\leq x_1,\,B(t_2)\leq x_2,\,\cdots,\,B(t_n)\leq x_n) \\ =&\,\int_{-\infty}^{x_1}p_{t_1}(x,\,y_1)\,dy_1\int_{-\infty}^{x_2}p_{t_2}(y_1,\,y_2)\,dy_2\cdots\int_{-\infty}^{x_n}p_{t_n}(y_{n-1},\,y_n)\,dy_n \end{align}
=Px(B(t1)≤x1,B(t2)≤x2,⋯,B(tn)≤xn)∫−∞x1pt1(x,y1)dy1∫−∞x2pt2(y1,y2)dy2⋯∫−∞xnptn(yn−1,yn)dyn
(比如
t
2
t_2
t2 ,相当于把
B
(
t
1
)
B(t_1)
B(t1) 看作起始位置的一个新的 Brown 运动,所以是
p
t
2
(
y
1
,
y
2
)
p_{t_2}(y_1,\,y_2)
pt2(y1,y2) )
二次变差:Brown 运动的二次变差
[
B
,
B
]
(
t
)
[B,\,B](t)
[B,B](t) 定义为 ,依概率收敛意义下的极限:
[
B
,
B
]
(
t
)
=
[
B
,
B
]
(
[
0
,
t
]
)
=
lim
δ
n
→
0
∑
i
=
0
n
−
1
∣
B
(
t
i
+
1
n
)
−
B
(
t
i
n
)
∣
2
[B,\,B](t)=[B,\,B]([0,\,t])=\lim\limits_{\delta_n\to0}\sum\limits_{i=0}^{n-1}|B(t_{i+1}^n)-B(t_{i}^n)|^2
[B,B](t)=[B,B]([0,t])=δn→0limi=0∑n−1∣B(ti+1n)−B(tin)∣2
Brown 运动的路径性质:从时刻
0
0
0 到时刻
T
T
T 对 Brown 运动的一次观察称为 Brown 运动在区间
[
0
,
T
]
[0,\,T]
[0,T] 上的一个路径或实现。Brown 运动几乎所有的样本路径
B
(
t
)
B(t)
B(t)(
0
≤
t
≤
T
0\leq t\leq T
0≤t≤T)都具有以下性质:
- 是 t t t 的连续函数;
- 在任意区间(无论区间多么小)上都不是单调的;
- 在任意点都是不可微的;
- 在任意区间(无论区间多么小)上都是无限变差的;
- 对任意 t t t ,在 [ 0 , t ] [0,\,t] [0,t] 上的二次变差等于 t t t (就是下边的定理)
Th: [ B , B ] ( t ) = t [B,\,B](t)=t [B,B](t)=t
证明:取
[
0
,
t
]
[0,\,t]
[0,t] 的分割
{
t
i
n
}
i
=
1
n
\{t_i^n\}_{i=1}^n
{tin}i=1n 使得
∑
n
δ
n
<
∞
\sum\limits_{n}\delta_n \lt \infty
n∑δn<∞ ,记:
S
n
=
∑
i
=
0
n
−
1
[
B
(
t
i
+
1
n
)
−
B
(
t
i
n
)
]
2
S_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}[B(t_{i+1}^n)-B(t_{i}^n)]^2
Sn=i=0∑n−1[B(ti+1n)−B(tin)]2
则:
$$
\begin{align}
E(S_n)=&,E\left{\sum\limits_{i=0}{n-1}[B(t_{i+1}n)-B(t_{i}n)]2\right} \
=&,\sum\limits_{i=0}{n-1}E\left{[B(t_{i+1}n)-B(t_{i}n)]2\right} \
=&,\sum\limits_{i=0}{n-1}Var[B(t_{i+1}n)+B(t_{i}n)]+E2[B(t_{i+1}n)-B(t_{i}n)] \
=&,\sum\limits_{i=0}{n-1}(t_{i+1}n-t_{i}^n)+0=t
\end{align}
再由标准正态分布的四阶矩公式得:
再由标准正态分布的四阶矩公式得:
再由标准正态分布的四阶矩公式得:
\begin{align}
Var(S_n)=&,Var\left{ \sum\limits_{i=0}{n-1}[B(t_{i+1}n)-B(t_{i}n)]2 \right} \
=&,\sum\limits_{i=0}{n-1}Var\left{[B(t_{i+1}n)-B(t_{i}n)]2\right} \
=&,\sum\limits_{i=0}{n-1}3(t_{i+1}n-t_{i}n)2-0 \
\leq&,3\max{t_{i+1}n-t_{i}n}t=3t\delta_t
\end{align}
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 16: 其中第三个等号这样得到,若 $̲X\sim N(0,\,t)$…
\begin{aligned} Var(X2)&=E(X4)-[E(X2)]2\ &=E[(\sqrt{t}Z)4]-[E((\sqrt{t}Z)2)]^2\ &=E(t2Z4)-t^2\ &=t2[E(Z4)-1]\ &=3t^2 \end{aligned}
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 14: 因为前面取的分割使得 $̲\sum\limits_{n}…
\sum\limits_{n=1}^{\infty}Var(S_n)\lt\infty
由单调收敛定理得:
由单调收敛定理得:
由单调收敛定理得:
E\left[\sum\limits_{n=1}^{\infty} (S_n-t)^2 \right]=E\left[\sum\limits_{n=1}^{\infty} (S_n-E(S_n))^2 \right] = E\left[\sum\limits_{n=1}^{\infty} Var(S_n) \right] \lt \infty
$$
因此
∑
n
=
1
∞
(
S
n
−
t
)
2
<
∞
\sum\limits_{n=1}^{\infty} (S_n-t)^2 \lt \infty
n=1∑∞(Sn−t)2<∞ ,a.s.,于是有
S
n
→
t
S_n\to t
Sn→t a.s.,故
[
B
,
B
]
(
t
)
=
t
[B,\,B](t)=t
[B,B](t)=t
Guass 过程
Guass 过程:所有有限维分布都是多元正态分布的随机过程。我们这里将证明 Brown 运动是特殊的 Guass 过程。
引理:设
X
∼
N
(
μ
1
,
σ
1
2
)
X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)
X∼N(μ1,σ12) ,
Y
∼
N
(
μ
2
,
σ
2
2
)
Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)
Y∼N(μ2,σ22) 是相互独立的,则
(
X
,
X
+
Y
)
∼
N
(
μ
,
Σ
)
(X,\,X+Y)\sim N(\mu,\,\Sigma)
(X,X+Y)∼N(μ,Σ) ,其中:
μ
=
[
μ
1
μ
1
+
μ
2
]
Σ
=
[
σ
1
2
σ
1
2
σ
1
2
σ
1
2
+
σ
2
2
]
\mu=\begin{bmatrix} \mu_1 \\ \mu_1+\mu_2 \end{bmatrix} \quad\quad \Sigma=\begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_1^2 \\ \sigma_1^2 & \sigma_1^2+\sigma_2^2 \end{bmatrix}
μ=[μ1μ1+μ2]Σ=[σ12σ12σ12σ12+σ22]
Th:Brown 运动是一个均值函数为
m
(
t
)
=
0
m(t)=0
m(t)=0 ,协方差函数为
γ
(
s
,
t
)
=
min
{
s
,
t
}
\gamma(s,\,t)=\min\{s,\,t\}
γ(s,t)=min{s,t} 的 Guass 过程
证明:由于 Brown 运动的均值为 0,所以其协方差函数为:
γ
(
s
,
t
)
=
C
o
v
[
B
(
t
)
,
B
(
s
)
]
=
E
[
B
(
t
)
B
(
s
)
]
−
E
[
B
(
t
)
]
E
[
B
(
s
)
]
=
E
[
B
(
t
)
B
(
s
)
]
\gamma(s,\,t)=Cov[B(t),\,B(s)]=E[B(t)B(s)]-E[B(t)]E[B(s)]=E[B(t)B(s)]
γ(s,t)=Cov[B(t),B(s)]=E[B(t)B(s)]−E[B(t)]E[B(s)]=E[B(t)B(s)]
若
t
<
s
t\lt s
t<s ,则
B
(
s
)
=
B
(
t
)
+
B
(
s
)
−
B
(
t
)
B(s)=B(t)+B(s)-B(t)
B(s)=B(t)+B(s)−B(t) ,由独立增量性可得:
E
[
B
(
t
)
B
(
s
)
]
=
E
[
B
(
t
)
(
B
(
t
)
+
B
(
s
)
−
B
(
t
)
)
]
=
E
[
B
(
t
)
2
]
+
E
[
B
(
t
)
]
E
[
B
(
s
)
−
B
(
t
)
]
=
E
[
B
(
t
)
2
]
=
V
a
r
[
B
(
t
)
]
+
E
2
[
B
(
t
)
]
=
t
\begin{align} E[B(t)B(s)]=&\,E[B(t)(B(t)+B(s)-B(t))] \\ =&\,E[B(t)^2]+E[B(t)]E[B(s)-B(t)] \\ =&\,E[B(t)^2] \\ =&\,Var[B(t)]+E^2[B(t)] \\ =&\,t \end{align}
E[B(t)B(s)]=====E[B(t)(B(t)+B(s)−B(t))]E[B(t)2]+E[B(t)]E[B(s)−B(t)]E[B(t)2]Var[B(t)]+E2[B(t)]t
若
t
>
s
t\gt s
t>s ,则类似地,
γ
(
s
,
t
)
=
s
\gamma(s,\,t)=s
γ(s,t)=s ,再由上述引理和数学归纳法可得,
B
(
t
)
B(t)
B(t) 的任何有限维分布都是正态的。
例:设Brown 运动 { B ( t ) , t ≥ 0 } \{B(t),\,t\geq 0\} {B(t),t≥0} ,求 B ( 1 ) + B ( 2 ) + B ( 3 ) + B ( 4 ) B(1)+B(2)+B(3)+B(4) B(1)+B(2)+B(3)+B(4) 的分布
解:考虑随机向量
X
=
[
B
(
1
)
,
B
(
2
)
,
B
(
3
)
,
B
(
4
)
]
T
X=[B(1),\,B(2),\,B(3),\,B(4)]^T
X=[B(1),B(2),B(3),B(4)]T 则由上边的定理可知
X
X
X 服从多元正态分布,且均值为 0,协方差矩阵为:
Σ
=
[
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
]
\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
Σ=
1111122212331234
令
A
=
[
1
1
1
1
]
A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}
A=[1111] ,则:
A
X
=
B
(
1
)
+
B
(
2
)
+
B
(
3
)
+
B
(
4
)
AX=B(1)+B(2)+B(3)+B(4)
AX=B(1)+B(2)+B(3)+B(4)
A
X
AX
AX 具有均值为 0,方差为
A
Σ
A
T
=
30
A\Sigma A^T=30
AΣAT=30 的正态分布
例:设Brown 运动 { B ( t ) , t ≥ 0 } \{B(t),\,t\geq 0\} {B(t),t≥0} ,求 B ( 1 4 ) + B ( 1 2 ) + B ( 3 4 ) + B ( 1 ) B(\frac{1}{4})+B(\frac{1}{2})+B(\frac{3}{4})+B(1) B(41)+B(21)+B(43)+B(1) 的分布
解:和上一题类似,考虑随机向量 Y = [ B ( 1 4 ) , B ( 1 2 ) , B ( 3 4 ) , B ( 1 ) ] T Y=[B(\frac{1}{4}),\,B(\frac{1}{2}),\,B(\frac{3}{4}),\,B(1)]^T Y=[B(41),B(21),B(43),B(1)]T ,协方差矩阵为 1 4 Σ \frac{1}{4}\Sigma 41Σ ,因此 A Y AY AY 服从均值为 0,方差为 A 1 4 Σ A T = 15 2 A\frac{1}{4}\Sigma A^T=\frac{15}{2} A41ΣAT=215 的正态分布
例:求概率 P ( ∫ 0 1 B ( t ) d t > 2 3 ) P\left(\int_0^1B(t)\,dt\gt \frac{2}{3}\right) P(∫01B(t)dt>32)
解:Brown 运动具有连续路径,因此
B
(
t
)
B(t)
B(t) 是连续函数,所以对于每个路径来说,Riemann 积分
∫
0
1
B
(
t
)
d
t
\int_0^1B(t)\,dt
∫01B(t)dt 存在,我们只需要求出
∫
0
1
B
(
t
)
d
t
\int_0^1B(t)\,dt
∫01B(t)dt 的分布。我们可以从逼近和
∑
B
(
t
i
)
Δ
t
i
\sum B(t_i)\Delta t_i
∑B(ti)Δti 的极限分布得到。所有逼近和的分布都是零均值的正态分布,因此极限分布也是正态分布。因此
∫
0
1
B
(
t
)
d
t
\int_0^1B(t)\,dt
∫01B(t)dt 是零均值的正态分布,现在来求方差:
V
a
r
[
∫
0
1
B
(
t
)
d
t
]
=
C
o
v
[
∫
0
1
B
(
t
)
d
t
,
∫
0
1
B
(
s
)
d
s
]
=
E
[
∫
0
1
B
(
t
)
d
t
∫
0
1
B
(
s
)
d
s
]
=
∫
0
1
∫
0
1
E
[
B
(
t
)
B
(
s
)
]
d
t
d
s
=
∫
0
1
∫
0
1
γ
(
t
,
s
)
d
t
d
s
=
∫
0
1
∫
0
1
min
{
t
,
s
}
d
t
d
s
=
1
3
\begin{align} Var\left[\int_0^1B(t)\,dt\right]=&\,Cov\left[\int_0^1B(t)\,dt,\,\int_0^1B(s)\,ds\right] \\ =&\,E\left[ \int_0^1B(t)\,dt\int_0^1B(s)\,ds \right] \\ =&\,\int_0^1\int_0^1E[B(t)B(s)]\,dt\,ds \\ =&\,\int_0^1\int_0^1\gamma(t,\,s)\,dt\,ds \\ =&\,\int_0^1\int_0^1\min\{t,\,s\}\,dt\,ds=\frac{1}{3} \end{align}
Var[∫01B(t)dt]=====Cov[∫01B(t)dt,∫01B(s)ds]E[∫01B(t)dt∫01B(s)ds]∫01∫01E[B(t)B(s)]dtds∫01∫01γ(t,s)dtds∫01∫01min{t,s}dtds=31
(积分是线性运算,因此对于期望来说也是满足线性性的)
Brown 运动的鞅性质
(还没学鞅www,跳过)
Brown 运动的 Markov 性
(我不太理解 σ \sigma σ 代数,所以这里也没怎么看懂。。。)
Markov 性:在知道过程的现在与过去的状态的条件下,过程的将来的表现与过去无关。过程依赖于现在,但是并不记忆现在的状态是如何得到的,即具有”遗忘性“。
Brown 运动是一个连续时间、连续状态的 Markov 过程。我们之前已经研究过连续时间、离散状态的 Markov 链,这里定义连续 Markov 链。
连续 Markov 过程:设
{
X
(
t
)
,
t
≥
0
}
\{X(t),\,t\geq 0\}
{X(t),t≥0} 是一个连续随机过程,如果对于
∀
t
,
s
>
0
\forall t,\,s \gt 0
∀t,s>0 ,有:
P
(
X
(
t
+
s
)
≤
y
∣
F
t
)
=
P
(
X
(
t
+
s
)
≤
y
∣
X
(
t
)
)
a
.
s
.
P(X(t+s)\leq y\,|\,\mathscr{F}_t)=P(X(t+s)\leq y\,|\,X(t))\quad a.s.
P(X(t+s)≤y∣Ft)=P(X(t+s)≤y∣X(t))a.s.
则
{
X
(
t
)
}
\{X(t)\}
{X(t)} 为 Markov 过程,这里
F
t
=
σ
{
X
(
u
)
,
0
≤
u
≤
t
}
\mathscr{F}_t=\sigma\{X(u),\,0\leq u\leq t\}
Ft=σ{X(u),0≤u≤t} (在时间
t
t
t 之前所有可观测的随机变量所生成的
σ
\sigma
σ 代数),这个性质称为 Markov 性。
Th:Brown 运动 B ( t ) B(t) B(t) 具有 Markov 性。(证明我看不懂,用到了矩母函数)
连续状态 Markov 过程
{
X
(
t
)
}
\{X(t)\}
{X(t)} 的转移概率定义为过程在时刻
s
s
s 处于状态
x
x
x 的条件下,在时刻
t
t
t 的分布函数;
F
(
y
,
t
,
x
,
s
)
=
P
(
X
(
t
)
≤
y
∣
X
(
s
)
=
x
)
F(y,\,t,\,x,\,s)=P(X(t)\leq y | X(s)=x)
F(y,t,x,s)=P(X(t)≤y∣X(s)=x)
Brown 运动的时齐性:在 Brown 运动的情况下,这一分布是正态的:
F
(
y
,
t
,
x
,
s
)
=
∫
∞
y
1
2
π
(
t
−
s
)
e
−
(
u
−
x
)
2
2
(
t
−
s
)
d
u
F(y,\,t,\,x,\,s)=\int_{\infty}^{y}\frac{1}{\sqrt{2\pi (t-s)}}\mathrm{e}^{-\frac{(u-x)^2}{2(t-s)}}\,du
F(y,t,x,s)=∫∞y2π(t−s)1e−2(t−s)(u−x)2du
Brown 运动的转移概率满足方程
F
(
y
,
t
,
x
,
s
)
=
F
(
y
,
t
−
s
,
x
,
0
)
F(y,\,t,\,x,\,s)=F(y,\,t-s,\,x,\,0)
F(y,t,x,s)=F(y,t−s,x,0) ,换言之,有:
P
(
B
(
t
)
≤
y
∣
B
(
s
)
=
x
)
=
P
(
B
(
t
−
s
)
≤
y
∣
B
(
0
)
=
x
)
P(B(t)\leq y\,|\,B(s)=x)=P(B(t-s)\leq y\,|\,B(0)=x)
P(B(t)≤y∣B(s)=x)=P(B(t−s)≤y∣B(0)=x)
当
s
=
0
s=0
s=0 时,
F
(
y
,
t
,
x
,
0
)
F(y,\,t,\,x,\,0)
F(y,t,x,0) 具有密度函数:
p
t
(
x
,
y
)
=
1
2
π
t
e
−
(
y
−
x
)
2
2
t
p_t(x,\,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\mathrm{e}^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}
pt(x,y)=2πt1e−2t(y−x)2
Brown 运动的时齐性描述的是分布不随时间的平移而变化,可以知道 Brown 运动的所有有限维分布都是时齐的。
停时:如果非负随机变量
T
T
T 可以取无穷值,即
T
:
Ω
→
[
0
,
∞
]
T:\,\Omega\to[0,\,\infty]
T:Ω→[0,∞] ,并且
∀
t
\forall t
∀t ,有:
{
T
>
t
}
∈
F
t
=
σ
{
B
(
u
)
,
0
≤
u
≤
t
}
\{T> t\}\in \mathscr{F}_t = \sigma\{B(u),\,0\leq u \leq t\}
{T>t}∈Ft=σ{B(u),0≤u≤t}
则称
T
T
T 为关于
{
B
(
t
)
,
t
≥
0
}
\{B(t),\,t\geq 0\}
{B(t),t≥0} 的停时。
所谓强 Markov 性,实际上是将 Markov 性中固定的时间 t t t 用停时 T T T 来代替。下面我们不加证明地给出关于 Brown 运动的强 Markov 性定理。
Th:设
T
T
T 时关于 Brown 运动
{
B
(
t
)
}
\{B(t)\}
{B(t)} 的有限停时,记:
F
t
=
{
A
∈
F
,
A
∩
{
T
≤
t
}
∈
F
t
,
∀
t
≥
0
}
\mathscr{F}_t=\{A\in \mathscr{F},\,A\cap\{T\leq t\}\in \mathscr{F}_t,\,\forall t\geq 0\}
Ft={A∈F,A∩{T≤t}∈Ft,∀t≥0}
则:
P
(
B
(
T
+
t
)
≤
y
∣
F
t
)
=
P
(
B
(
T
+
t
)
≤
y
∣
B
(
t
)
)
a
.
s
.
P(B(T+t)\leq y\,|\,\mathscr{F}_t)=P(B(T+t)\leq y\,|\,B(t))\quad a.s.
P(B(T+t)≤y∣Ft)=P(B(T+t)≤y∣B(t))a.s.
即 Brown 运动
B
(
t
)
B(t)
B(t) 具有强 Markov 性。由此定理可以看出,如果定义:
B
^
(
t
)
=
B
(
T
+
t
)
−
B
(
t
)
\hat{B}(t)=B(T+t)-B(t)
B^(t)=B(T+t)−B(t)
则
B
^
(
t
)
\hat{B}(t)
B^(t) 是始于 0 的Brown 运动并且独立于
F
T
\mathscr{F}_T
FT