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代数学笔记9: 群的直积,可解群,自由群,群表示

article 2025/2/24 12:34:28

群的直积

外直积

$H_1,H_2$ 是两个群(固定的群), 且有 $G=H_1\times H_2$ ,(构造的新群)
$G=\big(\{(h_1,h_2)|h_1\in H_1,h_2\in H_2\},\cdot\big),$
定义运算:
$(h_1,h_2)\cdot(g_1,g_2)\triangleq(h_1g_1,h_2g_2),\quad \forall h_1,g_1\in H_1,h_2,g_2\in H_2.$
并且有:
$H_1\times\{e_2\}=\{(h_1,e_2)|\forall h_1\in H_1,e_2\in H_2\}\cong H_1\unlhd G.$

内直积

与外直积相反, $G$ 是一个群, 如果 $H_1,H_2\unlhd G$ 且 $H_1\cap H_2=\{e\}$ , $G=H_1H_2$ , 则称 $G\cong H_1\times H_2$ .

证明:

$\forall g\in G,g=h_1h_2$ , 其中 $h_1\in H_1,h_2\in H_2$ ;

$H_1\cap H_2=\{e\}$ 上面的表示方法唯一.
若不然, $g=h_1h_2=g_1g_2$ , 两边左乘 $g_1^{-1}$ ,右乘 $h_2^{-1}$ , 得到
$H_1\ni g_1^{-1}h_1=g_2h_2^{-1}\in H_2,\iff g_1^{-1}h_1=g_2h_2^{-1}=e.$

于是 $H_1\times H_2\longrightarrow G:(h_1,h_2)\longmapsto h_1h_2$ .

直积的意义:
$H_1\times H_2, G>H_1>\{{\rm id}\},\iff G/H_1\cong H_2.$
例子:
$\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3$ ,(36阶群) 则
$\mathcal{S}_3\cong\big(\{(a,a)|a\in\mathcal{S}_3\},\cdot\big)\\ \qquad\quad\cong\mathcal{S}_3\times \{(1)\}=\{(1)\}\times \mathcal{S}_3$
第一行不是 $\mathcal{S}_3\times \mathcal{S}_3$ 的正规子群, 但是第二行是.

例子:(交换群, 等价于 $d_i$ 阶循环群的直积)
$G=C_{d_1}\times\cdots \times C_{d_n},\quad C_{d}\cong(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z},+)=\langle g\rangle,\quad g^d=e.$
对于具体的例子: $C_4\times C_8$ ,

有几个4阶群, 有几个8阶群?

Sol.

通过循环群的定义计算,

半直积

$H_1\unlhd G,G/H_1\cong H_2$ , 则 $G=H_1\ltimes H_2$ .

如果 $H_1,H_2$ 为循环群, $G$ 称为亚循环群.

可解群

正规子群链:
$G=G_0\supset G_1\supset \cdots G_i\supset G_{i+1}\supset \cdots\supset G_n=\{e\},$
其中 $G_i\unlhd G_{i-1}$ .

合成群链(中间的任意两个商群都是单群, 或者中间找不到子群, 使正规子群链成立)

循环群的合成群链:

由循环群结构定理:
$G\cong C_n\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+), \forall m|n, (m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+),$
得到: 若 $n=p_1\cdots p_s$ , 则有
$G=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>p_1\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>p_1p_2\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}>\cdots>p_1\cdots p_s\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{e\}.$
交换群的合成群链:
由交换群结构定理,
$G\cong \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/d_2\mathbb{Z}\times\cdots\times \mathbb{Z}/d_n\mathbb{Z}, \quad d_1|d_2,\cdots,d_{n-1}|d_n,$
于是我们有
$G>\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times\cdots\times \mathbb{Z}/d_{n-1}\mathbb{Z}\times\{1\}>\cdots>\mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z}\times\underbrace{\{1\}\times\cdots\times\{1\}}_{n-1个}>\{1\}$
p-群的合成群链:
$G$ 不交换, 则 $\mathbb{Z}(G)\ne\{1\}$ ,
$G>\mathbb{Z}(G)>\{1\}.$
即 $G|=p^n$ ,
$G>G_1>\cdots>G_n=\{1\}$
其中 $G_i|=p^{n-i}$ ,

$G$ 交换, 直接由上述讨论得到.

$G$ 可解 $\iff G_{i}/G_{i+1}$ 为素数阶循环群.

应用Sylow定理:

$p^aq$ 阶群必可解( $p, q$ 为素数, $a\in \mathbb{Z}$ ).

证明:

具体的例子: $56=2^3\cdot7$ , 只有如下几种可能.(由Sylow第三定理)
$n_2=1,7\\ n_7=1,8$
如果 $n_7=8$ , 则有8个7阶子群, 设为 $\langle g_1\rangle,\cdots,\langle g_8\rangle$ , 每个7阶子群有6个7阶元(以及1个单位元)