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密码学学习笔记(二十二)：RSA签名方案

article 2024/11/17 20:22:26

在RSA中，计算公钥 $N$ 的欧拉函数 $\phi (N)$ 和私钥是关键步骤。

如何计算 $\phi (N)$ 呢？

RSA算法中的 $N$ 是两个质数 p 和 q 的乘积。所以两个质数必须要找到。一旦找到 p 和 q就可以使用公式 $\phi$ ( $N$ ) = (p-1) (q-1)来计算 $\phi (N)$ 。

计算私钥d

私钥 d 是满足 e*d ≡ 1 mod $\phi (N)$ 的整数。换句话说，d 是 e 关于 ϕ(N) 的模逆元。这可以通过扩展欧几里得算法来计算。

如何单纯的使用数学的方法找到p和q呢？

p和q可以使用python代码找到。

from sympy import isprime, mod_inverse

# 给定值
N = 9999
e = 5

# 求 N 的素因数的函数
def find_prime_factors(N):
    for i in range(2, N):
        if N % i == 0 and isprime(i):
            p = i
            q = N // i
            if isprime(q):
                return p, q
    return None, None

# 找到 p和q
p, q = find_prime_factors(N)

# 计算 phi(N)
phi_N = (p - 1) * (q - 1)

# 计算 d
d = mod_inverse(e, phi_N)

p, q, phi_N, d

如果不想用代码呢？

可以使用比如试除法，费马分解法，轮换法等计算。

试除法

从最小的质数开始（比如2），检查它是否能整除 $N$ ，如果不能，继续尝试下一个质数（比如3、5、7...）。一旦找到一个质数 p 可以整除 $N$ ，那么 p 是 $N$ 的一个因子。一个因子 q 可以通过 q= $N$ /p 计算得到。接着验证q是不是质数，如果是的话，那么 p 和 q 就是要找的因子。

在RSA签名验证中，如何从给定的签名 σ 找回原始消息 M？

RSA签名验证的基本步骤是计算 $M = \sigma ^{e} mod N$ ，其中 M 是原始消息。这个过程基于RSA算法的数学原理，所以就算只有公钥也可以验证签名的有效性。所以如果得到 $\sigma$ 的值就可以得出M。

中国剩余定理（CRT）是怎么加快签名过程的？

在不使用CRT的情况下，RSA签名是计算 $\sigma = M^{d} mod N$ σ=MdmodN，其中 M 是消息。使用CRT时，签名过程如下：

计算两个模数下的指数: $d_{p} = d\, mod \, (p-1)$ ， $d_{q} = d \, mod \, (q-1)$
分别在 p 和 q 下计算签名: $\sigma_{p} = M^{d_{p}} \, mod\, p$ ， $\sigma_{q} = M^{d_{q}} \, mod\, q$
使用CRT合并结果: 首先计算 $q_{inv} = q^{-1}\, mod\, p$