《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（二）

文章目录

• • @[toc]
  • 前导
  • • 《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（一）
  • 第三章：有穷状态自动机
  • • 3.1|语言的识别
    • 3.2|有穷状态自动机
    • • 即时描述
      • $set()$
      • 例题
      • • 问题$1$
        • 解答
        • 问题$2$
        • 解答
    • 3.3|不确定的有穷状态自动机
    • • 构造$NFA$的等价$DFA$
      • • $NFA$
        • 构造方式
        • 状态转移函数
    • 3.4|带空移动的有穷状态自动机
    • • 带空移动的不确定有穷状态自动机$\epsilon -NFA$
      • $\epsilon -NFA$与$NFA$等价
      • • 构造与$M_1$等价的$NFA{M}_2$
        • 证明：对$\forall x\in {\Sigma }^{+}$，有${\delta }_2(q_0,x)={\hat{\delta }}_1(q_0,x)$
        • 证明：对$\forall x\in {\Sigma }^{+},{\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing \iff {\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$
        • 证明：$\epsilon \in L(M_1)\iff \epsilon \in L(M_2)$
      • 例题
      • • 问题
        • 解答
    • 3.5|FA是正则语言的识别器
    • • $FA$接受的语言是正则语言
      • • 构造正则文法$G$，使得 L ( G ) = L ( M ) − {   ε   } L(G) = L(M) - \set{\varepsilon} L(G)=L(M)−{ε}
        • 证明： L ( G ) = L ( M ) − {   ε   } L(G) = L(M) - \set{\varepsilon} L(G)=L(M)−{ε}
        • 关于$\epsilon$句子
      • 正则语言可以由$FA$接受
      • • 构造等价的$FA$
        • 证明$L(M)=L(G)$
        • 关于$\epsilon \in L(G)$
      • $FA$与左线性文法
      • • 根据左线性文法构造等价的$FA$
        • 构造$DFA$等价的左线性文法
    • 3.6|FA的一些变形
    • • 双向有穷状态自动机
      • • 确定的双向有穷状态自动机$2DFA$
        • 不确定的双向有穷状态自动机$2NFA$
      • 带输出的$FA$
      • • $Moore$机
        • $Mealy$机
        • $Moore$机与$Mealy$机等价

前导

《形式语言与自动机理论（第4版）》笔记（一）

第三章：有穷状态自动机

3.1|语言的识别

3.2|有穷状态自动机

即时描述

• 设$M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$为一个$FA$，$x$，$y\in {\Sigma }^{\ast }$，$\delta (q_0,x)=q$，$xqy$称为$M$的一个即时描述，表示$xy$是$M$正在处理的一个字符串，$x$引导$M$从$q_0$启动并到达状态$q$，$M$的读头当前正指向$y$的首字符
• 如果$xqay$是$M$的一个即时描述，且$\delta (q,a)=p$，则$xqay⊢xapy$

$set()$

• 设$M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$为一个$FA$，对$\forall q\in Q$，能引导$FA$从开始状态到达$q$的字符串的集合为 s e t ( q ) = {   x ∣ x ∈ Σ ∗ , δ ( q 0 , x ) = q   } set(q) = \set{x \mid x \in \Sigma^{*} , \delta(q_{0} , x) = q} set(q)={x∣x∈Σ∗,δ(q0​,x)=q}

例题

问题$1$

• 构造一个$DFA$，它接受的语言为 {   x ∣ x ∈ {   0 , 1   } ∗ , 且当把 x 看成二进制数时 , x 模 3 与 0 同余   } \set{x \mid x \in \set{0 , 1}^{*} , 且当把 x 看成二进制数时 , x 模 3 与 0 同余} {x∣x∈{0,1}∗,且当把x看成二进制数时,x模3与0同余}

解答

问题$2$

• 构造一个$DFA$，它接受的语言 L = {   x ∣ x ∈ {   0 , 1   } ∗ , 且对 x 中任意一个长度不大于 5 的子串 a 1 a 2 ⋯ a n , a 1 + a 2 + ⋯ + a n ≤ 3 ( n ≤ 5 )   } L = \set{x \mid x \in \set{0 , 1}^{*} , 且对 x 中任意一个长度不大于 5 的子串 a_{1} a_{2} \cdots a_{n} , a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} \leq 3 (n \leq 5)} L={x∣x∈{0,1}∗,且对x中任意一个长度不大于5的子串a1​a2​⋯an​,a1​+a2​+⋯+an​≤3(n≤5)}

解答

• F = {   q [ ε ]   } ∪ {   q [ a 1 a 2 ⋯ a i ] ∣ a 1 , a 2 , ⋯   , a i ∈ {   0 , 1   } 且 1 ≤ i ≤ 5 且 a 1 + a 2 + ⋯ + a i ≤ 3   } F = \set{q[\varepsilon]} \cup \set{q[a_{1} a_{2} \cdots a_{i}] \mid a_{1} , a_{2} , \cdots , a_{i} \in \set{0 , 1} 且 1 \leq i \leq 5 且 a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{i} \leq 3} F={q[ε]}∪{q[a1​a2​⋯ai​]∣a1​,a2​,⋯,ai​∈{0,1}且1≤i≤5且a1​+a2​+⋯+ai​≤3}

• Q = {   q t   } ∪ F Q = \set{q_{t}} \cup F Q={qt​}∪F

$$\begin{array}{rl}\delta (q[\epsilon ],a_1)& =q[a_1]\\ \delta (q[a_1],a_2)& =q[a_1{a}_2]\\ \delta (q[a_1{a}_2],a_3)& =q[a_1{a}_2{a}_3]\\ \delta (q[a_1{a}_2{a}_3],a)& =\{\begin{array}{ll}q[a_1{a}_2{a}_{3}a],& a_1+a_2+a_3+a\le 3\\ q_t,& a_1+a_2+a_3+a>3\end{array}\\ \delta (q[a_1{a}_2{a}_3{a}_4],a)& =\{\begin{array}{ll}q[a_1{a}_2{a}_3{a}_{4}a],& a_1+a_2+a_3+a_4+a\le 3\\ q_t,& a_1+a_2+a_3+a_4+a>3\end{array}\\ \delta (q[a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5],a)& =\{\begin{array}{ll}q[a_2{a}_3{a}_4{a}_{5}a],& a_2+a_3+a_4+a_5+a\le 3\\ q_t,& a_2+a_3+a_4+a_5+a>3\end{array}\\ \delta (q_t,a)=q_t& \end{array}$$

3.3|不确定的有穷状态自动机

构造$NFA$的等价$DFA$

$NFA$

构造方式

• 先只把开始状态$[q_0]$填入表的状态列中
• 如果表中的状态列中有未处理的状态，则任选一个未处理的状态$[q_1,q_2,\cdots ,q_n]$，对$\Sigma$中的每个字符$a$，计算$\delta ([q_1,q_2,\cdots ,q_n],a)$，并将结果填入相应的表项中
• 如果$\delta ([q_1,q_2,\cdots ,q_n],a)$在表的状态列中未出现过，则同时将它填入表的状态列
• 如此重复下去，直到表的状态列中不存在未处理的状态

状态转移函数

3.4|带空移动的有穷状态自动机

带空移动的不确定有穷状态自动机$\epsilon -NFA$

• 对任意$q\in Q$

  • ε − C L O S U R E ( q ) = {   p ∣ 从 q 到 p 有一条标记为 ε 的路   } \varepsilon-CLOSURE(q) = \set{p \mid 从 q 到 p 有一条标记为 \varepsilon 的路} ε−CLOSURE(q)={p∣从q到p有一条标记为ε的路}

  • $\hat{\delta }(q,\epsilon )=\epsilon -CLOSURE(q)$

$\epsilon -NFA$与$NFA$等价

• 显然只需证明对于任给的$\epsilon -NFA$，存在与之等价的$NFA$
• 设$\epsilon -NFA{M}_1=(Q,\Sigma ,{\delta }_1,q_0,F)$

构造与$M_1$等价的$NFA{M}_2$

• 取$NFA{M}_2=(Q,\Sigma ,{\delta }_2,q_0,F_2)$
  • F 2 = { F ∪ {   q 0   } , 如果 F ∩ ε − C L O S U R E ( q 0 ) ≠ ∅ F , 如果 F ∩ ε − C L O S U R E ( q 0 ) = ∅ F_{2} = \begin{cases} F \cup \set{q_{0}} , & 如果 F \cap \varepsilon-CLOSURE(q_{0}) \neq \emptyset \\ F , & 如果 F \cap \varepsilon-CLOSURE(q_{0}) = \emptyset \end{cases} F2​={F∪{q0​},F,​如果F∩ε−CLOSURE(q0​)=∅如果F∩ε−CLOSURE(q0​)=∅​
  • 对$\forall (q,a)\in Q\times \Sigma$，使${\delta }_2(q,a)={\hat{\delta }}_1(q,a)$

证明：对$\forall x\in {\Sigma }^{+}$，有${\delta }_2(q_0,x)={\hat{\delta }}_1(q_0,x)$

• 施归纳于$|x|$
• 当$|x|=1$时，由${\delta }_2$的定义，结论成立
• 设当$|x|=n$时结论成立，下面证明当$|x|=n+1$时结论也成立

  • 设$x=wa$，$|w|=n$，$a\in \Sigma$

  • δ 2 ( q 0 , x ) = δ 2 ( q 0 , w a ) = δ 2 ( δ 2 ( q 0 , w ) , a ) = δ 2 ( δ ^ 1 ( q 0 , w ) , a ) = ⋃ q ∈ δ ^ 1 ( q 0 , w ) δ 2 ( q , a ) = ⋃ q ∈ δ ^ 1 ( q 0 , w ) δ ^ 1 ( q , a ) = ε − C L O S U R E ( ⋃ q ∈ δ ^ 1 ( q 0 , w ) δ 1 ( q , a ) ) = ε − C L O S U R E ( {   p ∣ ∃ q ∈ δ ^ 1 ( q 0 , w ) , 使得 p ∈ δ 1 ( q , a )   } ) = δ ^ 1 ( q 0 , w a ) = δ ^ 1 ( q 0 , x ) \begin{aligned} \delta_{2}(q_{0} , x) &= \delta_{2}(q_{0} , wa) \\ &= \delta_{2}(\delta_{2}(q_{0} , w) , a) \\ &= \delta_{2}(\hat{\delta}_{1}(q_{0} , w) , a) \\ &= \displaystyle\bigcup\limits_{q \in \hat{\delta}_{1}(q_{0} , w)}{\delta_{2}(q , a)} \\ &= \displaystyle\bigcup\limits_{q \in \hat{\delta}_{1}(q_{0} , w)}{\hat{\delta}_{1}(q , a)} \\ &= \varepsilon-CLOSURE(\displaystyle\bigcup\limits_{q \in \hat{\delta}_{1}(q_{0} , w)}{\delta_{1}(q , a)}) \\ &= \varepsilon-CLOSURE(\set{p \mid \exist q \in \hat{\delta}_{1}(q_{0} , w) , 使得 p \in \delta_{1}(q , a)}) \\ &= \hat{\delta}_{1}(q_{0} , wa) \\ &= \hat{\delta}_{1}(q_{0} , x) \end{aligned} δ2​(q0​,x)​=δ2​(q0​,wa)=δ2​(δ2​(q0​,w),a)=δ2​(δ^1​(q0​,w),a)=q∈δ^1​(q0​,w)⋃​δ2​(q,a)=q∈δ^1​(q0​,w)⋃​δ^1​(q,a)=ε−CLOSURE(q∈δ^1​(q0​,w)⋃​δ1​(q,a))=ε−CLOSURE({p∣∃q∈δ^1​(q0​,w),使得p∈δ1​(q,a)})=δ^1​(q0​,wa)=δ^1​(q0​,x)​

  • 结论对$|x|=n+1$也成立，由归纳法原理，结论对$\forall x\in {\Sigma }^{+}$成立

证明：对$\forall x\in {\Sigma }^{+},{\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing \iff {\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$

• 充分性
  • 设${\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$，${\delta }_2(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$，而$F\subseteq F_2$，所以${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing$
• 必要性
  • 设${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing$，则有以下两种情况
    • 第一种情况： δ 2 ( q 0 , x ) ∩ F 2 ≠ {   q 0   } \delta_{2}(q_{0} , x) \cap F_{2} \neq \set{q_{0}} δ2​(q0​,x)∩F2​={q0​}，此时，${\delta }_2(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$，而${\hat{\delta }}_1(q_0,x)={\delta }_2(q_0,x)$，所以${\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$
    • 第二种情况： δ 2 ( q 0 , x ) ∩ F 2 = {   q 0   } \delta_{2}(q_{0} , x) \cap F_{2} = \set{q_{0}} δ2​(q0​,x)∩F2​={q0​}，如果$q_0\in F$，则${\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$，事实上，此时不可能有$q_0\notin F$，如果$q_0\notin F$，则由于$q_0\in F_2$，所以$F\cap \epsilon -CLOSURE(q_0)\ne \varnothing$，即$\exists q_f\in \epsilon -CLOSURE(q_0)\cap F$，但$q_f\ne q_0$，由于${\hat{\delta }}_1(q_0,x)={\delta }_2(q_0,x)$，所以，由$q_0\in {\hat{\delta }}_1(q_0,x)$可得$\epsilon -CLOSURE(q_0)\subseteq {\hat{\delta }}_1(q_0,x)$，$q_f\in {\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F$，而$F\subseteq F_2$，所以$q_f\in F_2$，从而$q_f\in {\delta }_2(q_0,x)\cap F_2$，由于$q_f\ne q_0$，这与 δ 2 ( q 0 , x ) ∩ F 2 = {   q 0   } \delta_{2}(q_{0} , x) \cap F_{2} = \set{q_{0}} δ2​(q0​,x)∩F2​={q0​}矛盾
  • 综上所述，如果${\delta }_2(q_0,x)\cap F_2\ne \varnothing$，则必有${\hat{\delta }}_1(q_0,x)\cap F\ne \varnothing$

证明：$\epsilon \in L(M_1)\iff \epsilon \in L(M_2)$

• 必要性
  • 设$\epsilon \in L(M_1)$，则$\exists q_f\in \epsilon -CLOSURE(q_0)\cap F$，由$F_2$的定义，$q_0\in F_2$，所以${\delta }_2(q_0,\epsilon )=q_0\in F_2$，表明$\epsilon \in L(M_2)$
• 充分性
  • 设$\epsilon \in L(M_2)$，从而有${\delta }_2(q_0,\epsilon )=q_0\in F_2$，只能有以下两种情况
    • 第一种情况：$q_0\in F$，此时$\epsilon \in L(M_1)$
    • 第二种情况：$q_0\notin F$，此时必有$\epsilon -CLOSURE(q_0)\cap F\ne \varnothing$，即${\hat{\delta }}_1(q_0,\epsilon )\cap F\ne \varnothing$，所以$\epsilon \in L(M_1)$
• 故$\epsilon \in L(M_1)\iff \epsilon \in L(M_2)$

例题

问题

• 构造与图示$\epsilon -NFA$等价的$NFA$

解答

3.5|FA是正则语言的识别器

$FA$接受的语言是正则语言

• 设$DFAM=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$

构造正则文法$G$，使得 L ( G ) = L ( M ) − {   ε   } L(G) = L(M) - \set{\varepsilon} L(G)=L(M)−{ε}

• 取$G=(Q,\Sigma ,P,q_0)$，其中 P = {   q → a p ∣ δ ( q , a ) = p   } ∪ {   q → a ∣ δ ( q , a ) = p ∈ F   } P = \set{q \rightarrow ap \mid \delta(q , a) = p} \cup \set{q \rightarrow a \mid \delta(q , a) = p \in F} P={q→ap∣δ(q,a)=p}∪{q→a∣δ(q,a)=p∈F}

证明： L ( G ) = L ( M ) − {   ε   } L(G) = L(M) - \set{\varepsilon} L(G)=L(M)−{ε}

• 对于$a_1{a}_2\cdots a_n\in {\Sigma }^{+}$，$\begin{array}{rl}{q}_0\stackrel{+}{\Rightarrow }{a}_1{a}_2\cdots a_n& \iff q_0\to a_1{q}_1,q_1\to a_2{q}_2,\cdots ,q_{n-1}\to a_n\in P\\ & \iff \delta (q_0,a_1)=q_1,\delta (q_1,a_2)=q_2,\cdots ,\delta (q_{n-1},a_n)=q_n\in F\\ & \iff \delta (q_0,a_1{a}_2\cdots a_n)=q_n\in F\end{array}$
• 所以$a_1{a}_2\cdots a_n\in L(G)\iff a_1{a}_2\cdots a_n\in L(M)$

关于$\epsilon$句子

• 如果$q_0\notin F$，则$\epsilon \notin L(M)$，$L(G)=L(M)=L(M)-\epsilon$
• 如果$q_0\in F$，存在正则文法$G^{{}^{\prime }}$，使得 L ( G ′ ) = L ( G ) ∪ {   ε   } = L ( M ) L(G^{'}) = L(G) \cup \set{\varepsilon} = L(M) L(G′)=L(G)∪{ε}=L(M)

正则语言可以由$FA$接受

• 由于正则语言被定义为是由正则文法产生的语言，所以只需证明，对于任给的正则文法，存在一个与之等价的$FA$
• 设有正则文法$G=(V,T,P,S)$，假设$G$是右线性文法，且$\epsilon \notin L(G)$

构造等价的$FA$

• 对应于正则文法$G=(V,T,P,S)$，取 F A   M = ( V ∪ {   Z   } , T , δ , S , {   Z   } ) FA \ M = (V \cup \set{Z} , T , \delta , S , \set{Z}) FA M=(V∪{Z},T,δ,S,{Z})，其中对$\forall (A,a)\in V\times T$， δ ( A , a ) = { {   B ∣ A → a B ∈ P   } ∪ {   Z   } , 如果 A → a ∈ P {   B ∣ A → a B ∈ P   } , 如果 A → a ∉ P \delta(A , a) = \begin{cases} \set{B \mid A \rightarrow aB \in P} \cup \set{Z} , & 如果 A \rightarrow a \in P \\ \set{B \mid A \rightarrow aB \in P} , & 如果 A \rightarrow a \notin P \end{cases} δ(A,a)={{B∣A→aB∈P}∪{Z},{B∣A→aB∈P},​如果A→a∈P如果A→a∈/P​

证明$L(M)=L(G)$

• 对于$a_1{a}_2\cdots a_n\in T^{+}$，$\begin{array}{rl}{a}_1{a}_2\cdots a_n\in T^{+}& \iff S\stackrel{+}{\Rightarrow }{a}_1{a}_2\cdots a_n\\ & \iff S\Rightarrow a_1{A}_1\Rightarrow a_1{a}_2{A}_2\Rightarrow \cdots \Rightarrow a_1{a}_2\cdots a_n\\ & \iff S\to a_1{A}_1,A_1\to a_2{A}_2,\cdots ,A_{n-1}\to a_n\in P\\ & \iff A_1\in \delta (S,a_1),A_2\in \delta (A_1,a_2),\cdots ,Z\in \delta (A_{n-1},a_n)\\ & \iff Z\in \delta (S,a_1{a}_2\cdots a_n)\iff a_1{a}_2\cdots a_n\in L(M)\end{array}$
• 即对于$\forall x\in T^{+}$，$x\in L(G)\iff x\in L(M)$

关于$\epsilon \in L(G)$

• 不妨假设$S$不出现在$G$的任何产生式的右部，设$G$中只有唯一的一个空产生式$S\to \epsilon$
• 只需将状态$S$取为$M$的第二个终止状态
• 按此方法构造出的$FAM$与所给的正则文法$G$是等价的

$FA$与左线性文法

根据左线性文法构造等价的$FA$

• 引入一个开始状态$Z$，形如$A\to a$的产生式，$A\in \delta (Z,a)$
• 形如$A\to Ba$的产生式，$\delta (B,a)=A$
• $G$的开始符号对应的状态是相应$FA$的终止状态

构造$DFA$等价的左线性文法

• 对$DFA$做处理
  • 删除$DFA$的陷阱状态（包括与之相关的弧）
  • 在图中加一个识别状态$z$，“复制”一条原来到达终止状态的弧，使它从原来的起点出发，到达新添加的识别状态
  • 如果开始状态也是终止状态，则增加产生式$z\to \epsilon$
• 构造规则
  • 如果$\delta (A,a)=B$，则有产生式$B\to Aa$
  • 如果$\delta (A,a)=B$，且$A$是开始状态，则有产生式$B\to a$

3.6|FA的一些变形

双向有穷状态自动机

确定的双向有穷状态自动机$2DFA$

• $M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$
• δ : Q × Σ → Q × {   L , R , S   } \delta : Q \times \Sigma \rightarrow Q \times \set{L , R , S} δ:Q×Σ→Q×{L,R,S}，对$\forall (q,a)\in Q\times \Sigma$
  • 如果$\delta (q,a)=(p,L)$，表示$M$在状态$q$读入字符$a$，将状态变成$p$，并将读头向左移动一个带方格而指向输入字符串中的前一个字符
  • 如果$\delta (q,a)=(p,R)$，表示$M$在状态$q$读入字符$a$，将状态变成$p$，并将读头向右移动一个带方格而指向输入字符串中的下一个字符
  • 如果$\delta (q,a)=(p,S)$，表示$M$在状态$q$读入字符$a$，将状态变成$p$，读头保持在原位不动

不确定的双向有穷状态自动机$2NFA$

• $M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$
• δ : Q × Σ → 2 Q × {   L , R , S   } \delta : Q \times \Sigma \rightarrow 2^{Q \times \set{L , R , S}} δ:Q×Σ→2Q×{L,R,S}，对$\forall (q,a)\in Q\times \Sigma$， δ ( q , a ) = {   ( p 1 , D 1 ) , ( p 2 , D 2 ) , ⋯   , ( p m , D m )   } \delta(q , a) = \set{(p_{1} , D_{1}) , (p_{2} , D_{2}) , \cdots , (p_{m} , D_{m})} δ(q,a)={(p1​,D1​),(p2​,D2​),⋯,(pm​,Dm​)}表示$M$在状态$q$读入字符$a$，可以选择地将状态变成$p_m$，同时按 D m ∈ {   L , R , S   } D_{m} \in \set{L , R , S} Dm​∈{L,R,S}实现对读头的移动

带输出的$FA$

$Moore$机

• $M=(Q,\Sigma ,\Delta ,\delta ,\lambda ,q_0)$
  • $\Delta$——输出字母表
  • $\lambda$——$\lambda :Q\to \Delta$为输出函数，对$\forall q\in Q$，$\lambda (q)=a$表示$M$在状态$q$时输出$a$
• 对于$\forall a_1{a}_2\cdots a_n\in {\Sigma }^{\ast }$，$M$的输出串为$\lambda (q_0)\lambda (\delta (q_0,a_1))\lambda (\delta (\delta (q_0,a_1),a_2))\cdots \lambda (\delta ((\cdots \delta (\delta (q_0,a_1),a_2)\cdots ),a_n))$，设$\delta (q_0,a_1)=q_1$，$\delta (q_1,a_2)=q_2$，$\cdots$，$\delta (q_{n-1},a_n)=q_n$，则$M$的输出可以表示成$\lambda (q_0)\lambda (q_1)\cdots \lambda (q_n)$，这是一个长度为$n+1$的串

$Mealy$机

• $M=(Q,\Sigma ,\Delta ,\delta ,\lambda ,q_0)$
  • $\lambda$——$\lambda :Q\times \Sigma \to \Delta$为输出函数，对$\forall (q,a)\in Q\times \Sigma$，$\lambda (q,a)=d$表示$M$在状态$q$读入字符$a$时输出$d$
• 对于$\forall a_1{a}_2\cdots a_n\in {\Sigma }^{\ast }$，$M$的输出串为$\lambda (q_0,a_1)\lambda (\delta (q_0,a_1),a_2)\cdots \lambda (\delta (\cdots \delta (\delta (q_0,a_1),a_2)\cdots ),a_n)$，设$\delta (q_0,a_1)=q_1$，$\delta (q_1,a_2)=q_2$，$\cdots$，$\delta (q_{n-1},a_n)=q_n$，则$M$的输出可以表示成$\lambda (q_0,a_1)\lambda (q_1,a_2)\cdots \lambda (q_{n-1},a_n)$，这是一个长度为$n$的串

$Moore$机与$Mealy$机等价

• 设$Moore$机$M_1=(Q_1,\Sigma ,\Delta ,{\delta }_1,{\lambda }_1,q_{01})$，$Mealy$机$M_2=(Q_2,\Sigma ,\Delta ,{\delta }_2,{\lambda }_2,q_{02})$
• 对于$\forall x\in {\Sigma }^{\ast }$，当$T_1(x)={\lambda }_1(q_0)T_2(x)$成立时，称它们是等价的，其中$T_1(x)$和$T_2(x)$分别表示$M_1$和$M_2$关于$x$的输出