使用广播机制将for循环转为矩阵运算

1 问题描述

有两个点云$N_1\in (n,3)$和$N2\in (m,3)$。现在要统计$N_2$到$N_1$距离小于2的点的数量。

2 求解

2.1 问题分析

这个问题属于一类典型的for循环遍历问题，求解的方法如下：

import numpy as np

n1 = np.array([[1,0,0],
               [2,0,0],
               [4,0,0]])

n2 = np.array([[1,0,0],
               [2,0,0],
               [8,0,0],
               [0,8,0],
               [0,0,9]])

m, _ = n2.shape
n, _ = n1.shape
counter = 0
for i in range(0, m):
    for j in range(0,n):
        distances = np.sqrt((n1[j,0]-n2[i,0])**2 + (n1[j,1]-n2[i,1])**2 + (n1[j,2]-n2[i,2])**2)
        if distances < 2:
            counter = counter + 1
            break
print(counter)           

这种求解方法的时间复杂度是$O(N^2)$。但是在实际情况尤其是深度学情况下，需要尽量避免使用for循环，以此提升程序速度。可以考虑使用numpy矩阵运算来代替for循环。

2.2 Numpy广播机制定义

Numpy广播（broadcasting）是NumPy中用于处理形状不匹配的数组进行逐元素运算的一种机制。当进行二进制运算（如加法、减法、乘法等）或一元运算（如取负、取指数等）时，NumPy会自动调整数组的形状，使其能够逐元素地进行运算，而无需显式地进行形状的扩充或重复。

一般情况下，想利用Numpy将for运算简化成矩阵运算需要反向思维，将两个待求解的矩阵/数组变换成形状不匹配的状态，引发广播机制实现逐元素运算。

2.3 矩阵运算

使用numpy的广播机制可以将上述问题转化为矩阵运算：

import numpy as np

n1 = np.array([[1,0,0],
               [2,0,0],
               [4,0,0]])

n2 = np.array([[1,0,0],
               [2,0,0],
               [8,0,0],
               [0,8,0],
               [0,0,9]])

#1 对n1扩充维度 (n,3)->(n,1,3)
n1_expand = n1[:, np.newaxis]
#2 使用广播机制计算两个点云之间的距离矩阵
distances = np.sqrt(np.sum((n1_expand - n2) ** 2, axis=2))
#3 设置判断条件(即: 距离小于2)
condition = np.any(distances < 2, axis=0)
#4 统计满足条件个数
counter = np.sum(condition)
print(counter)

程序解析：

1. n1_expand = n1[:, np.newaxis]是指将N1的形状从(n, 3)扩展为(n, 1, 3)。其中np.newaxis是在NumPy中用于增加数组的维度的特殊索引。它用于在指定的位置插入一个新的维度。
   此时n1_expand的shape为(n, 1, 3)，n2的shape为(m,3)，为了实现对应元素的减法操作，Numpy广播机制会将n1_epxand和n2都扩充至(n, m, 3)。

   • 对于n1_expand来说，它在dim=1维度复制m次，在对应做减法时等同于for i in range(0, m):
   • 对于n2来说，它等于先扩充了dim=0维度，再从dim=0上复制了n次，等同于for j in range(0, n):

   因为最终的shape是(n, m, 3)，减法的操作对象只作用到dim=2维，所以此次广播相当于对dim=0和dim=1的逐元素叠加遍历，即双重for循环。

   矩阵代替循环的设计技巧：先确定运算符作用维度，然后每代替一层循环就需要给矩阵增加一个维度，即：广播后的矩阵维度=替代的for循环层数+运算作用维度。

   在这个示例中，距离运算只局限在(n, 3)中的dim=1这一个维度上，想要替换的是两个点云矩阵间相对元素计算的两层for循环，所以广播后的矩阵的shape=2+1，即：3。

2. distances = np.sqrt(np.sum((n1_expand - n2) ** 2, axis=2)) 这里n1_expand - n2为对应元素减法获得各坐标轴上的差值，整体表达式的shape仍为(n, m, 3)；**2指定对所有差值做平方；axis=2指定对dim=2，即最后一维的3个元素做np.sum相加操作，这正好实现了三个差值平方的相加。因为加法操作发生在dim=2上，所以这个对应维度在完成加法操作后消去了，此时的shape变为(n,m)。最后外围的np.sqrt实现开根号。
   至此计算出点云$N_1$中任意一点到点云$N_2$任意一点的距离，将它们以矩阵的形式保存，形成distance，shape为(n, m)。例如，distance[1,2]表示点云$N_1$中的第1个点到点云$N_2$中的第2个点的距离，反之也成立。

3. condition = np.any(distances < 2, axis=0) 这句话主要实现判断$N_2$中是否有满足距离小于2的点。distance[x,y]表示x到y的距离，其中$y\in N_2$。因此要对distance逐列筛选，即：只要distance[:,j]中的n个元素里有任一个及以上小于2就认为当前$N_2$点云中的第j个元素符合条件。由此规定axis=0按列索引，np.any只要有一个符合条件就将它置为True，最后condtion为一个shape是(1, m)的bool矩阵。

4. 最后统计condtion中True的数量，记为最终所求。

3 总结

一般情况下，当for循环内的操作为仅为简单的四则运算，且操作对象为2个时，就可以考虑采用矩阵运算替代for循环。由于Numpy矩阵运算是并行的，所以将for循环转为矩阵运算会大量节约计算时间。此外，该类问题还有一种更为通俗的解法：采用哈希表。