1. 行变换消元法
- 假设我们有一个方程组表示如下：
x
+
2
y
+
z
=
2
;
3
x
+
8
y
+
z
=
12
;
4
y
+
z
=
2
(1)
x+2y+z=2;\quad 3x+8y+z=12;\quad4y+z=2\tag{1}
x+2y+z=2;3x+8y+z=12;4y+z=2(1) - 矩阵表示如下：
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
→
[
1
2
1
0
2
−
2
0
4
1
]
→
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
(2)
\begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{2}
130284111
→
1002241−21
→
1002201−25
(2) - 矩阵右乘AX列变换，矩阵左乘XA行变换
- 第一行乘以-3 加到第二行，矩阵表示如下：
[
1
0
0
−
3
1
0
0
0
1
]
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
=
[
1
2
1
0
2
−
2
0
4
1
]
(3)
\begin{bmatrix}1&0&0\\\\-3&1&0\\\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}\tag{3}
1−30010001
130284111
=
1002241−21
(3) - 第二行乘以-2 加到第三行，矩阵表示如下：
[
1
0
0
0
1
0
0
−
2
1
]
[
1
2
1
0
2
−
2
0
4
1
]
=
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
(4)
\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{4}
10001−2001
1002241−21
=
1002201−25
(4) - 小结：可以用矩阵形式表示消元如下：
[
1
0
0
0
1
0
0
−
2
1
]
[
1
0
0
−
3
1
0
0
0
1
]
[
1
2
1
3
8
1
0
4
1
]
=
[
1
2
1
0
2
−
2
0
0
5
]
(5)
\begin{bmatrix}1&0&0\\\\0&1&0\\\\0&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\\\-3&1&0\\\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&1\\\\3&8&1\\\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\\\0&2&-2\\\\0&0&5\end{bmatrix}\tag{5}
10001−2001
1−30010001
130284111
=
1002201−25
(5)
