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代码随想录算法训练营day24 | 回溯算法理论基础、77.组合

article 2025/1/24 2:21:52

回溯算法

定义

回溯法也叫做回溯搜索法，它是一种搜索的方式。

回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯函数也就是递归函数，指的都是一个函数。

回溯法的效率

回溯法很难，很不好理解，但是回溯法并不高效。

回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，
但也改不了回溯法就是穷举的本质。

那么既然回溯法并不高效为什么还要用它呢？

因为没得选，一些问题能暴力搜出来就不错了，撑死了再剪枝一下，还没有更高效的解法。

此时大家应该好奇了，都什么问题，这么牛逼，只能暴力搜索。

回溯法解决的问题

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
棋盘问题：N皇后，解数独等等

回溯算法模板

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

组合

链接: 组合

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按任何顺序返回答案。

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

思路

直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到用两个for循环
如果n为100，k为50呢，那就50层for循环,写不了一点。

此时发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来

回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。

那么回溯法怎么暴力搜呢？

上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。

递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。

解题方法

看代码套模板，注意递归的三部曲的条件。

复杂度

时间复杂度：O(n * 2^n)
空间复杂度：O(n)

Code

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

另一种写法：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> res;
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        if (k <= 0 || n <= 0)
            return res;
        vector<int> track;
        backtrack(n, k, 1, track);
        return res;
    }

    void backtrack(int n, int k, int start, vector<int>& track) {
        // 到达树的底部
        if (k == track.size()) {
            res.push_back(track);
            return;
        }
        // 注意 i 从 start 开始递增
        for (int i = start; i <= n; i++) {
            // 做选择
            track.push_back(i);
            backtrack(n, k, i + 1, track);
            // 撤销选择
            track.pop_back();
        }
    }
};