【洛谷 P9242】[蓝桥杯 2023 省 B] 接龙数列 题解（线性DP+二维数组）

[蓝桥杯 2023 省 B] 接龙数列

题目描述

对于一个长度为 $K$ 的整数数列：$A_1,A_2,\dots ,A_K$，我们称之为接龙数列当且仅当 $A_i$ 的首位数字恰好等于 $A_{i-1}$ 的末位数字（$2\le i\le K$）。

例如 $12,23,35,56,61,11$ 是接龙数列；$12,23,34,56$ 不是接龙数列，因为 $56$ 的首位数字不等于 $34$ 的末位数字。所有长度为 $1$ 的整数数列都是接龙数列。

现在给定一个长度为 $N$ 的数列 $A_1,A_2,\dots ,A_N$，请你计算最少从中删除多少 个数，可以使剩下的序列是接龙序列？

输入格式

第一行包含一个整数 $N$。

第二行包含 $N$ 个整数 $A_1,A_2,\dots ,A_N$。

输出格式

一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

5
11 121 22 12 2023

样例输出 #1

1

提示

【样例说明】

删除 $22$，剩余 $11,121,12,2023$ 是接龙数列。

【评测用例规模与约定】

对于 $20\%$ 的数据，$1\le N\le 20$。

对于 $50\%$ 的数据，$1\le N\le 10^4$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 10^5$，$1\le A_i\le 10^9$。所有 $A_i$ 保证不包含前导 0。

蓝桥杯 2023 省赛 B 组 E 题。

思路

使用一维数组a来存储输入的序列，每个元素是一个整数的首尾数字对。使用了二维数组dp，dp[i][j]表示到下标i，以数字j结尾的最长接龙序列的长度。

首先读取输入的序列长度n，然后读取序列，将每个元素的首尾数字对存入数组a。

接下来，使用动态规划来计算最长接龙序列的长度。对于第i个元素，遍历所有可能的末尾数字j。

状态转移方程如下：

1. 如果末尾数字 j 等于当前数字对 a[i] 的末尾数字，那么状态 dp[i][j] 取 dp[i - 1][j] 和 dp[i - 1][a[i].first] + 1 中的较大值。这表示，如果可以在当前数字对 a[i] 的首位数字后接上 j，那么就可以选择接上 j，并使得接龙序列的长度增加 1；否则，就保持原来以 j 结尾的接龙序列不变。

$$dp[i][j]=\max (dp[i-1][j],dp[i-1][a[i].first]+1),\text{ if }j==a[i].second$$

2. 如果末尾数字 j 不等于当前数字对 a[i] 的末尾数字，那么状态 dp[i][j] 等于 dp[i - 1][j]。这表示，不能在当前数字对 a[i] 的首位数字后接上 j，所以保持原来以 j 结尾的接龙序列不变。

$$dp[i][j]=dp[i-1][j],\text{ if }j\ne a[i].second$$

最后，遍历dp[n]，找出最长的接龙序列长度m，输出n - m，即最少需要删除的数的个数。

AC代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#define mp make_pair
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int, int>;

const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;

int n;
pii a[N];
// 到下标i，以j结尾的最长接龙序列
ll dp[N][15];

int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		string s;
		cin >> s;
		a[i] = {*s.begin() - '0', *s.rbegin() - '0'};
	}

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 0; j <= 9; j++) {
			if (j == a[i].second) {
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][a[i].first] + 1);
			} else {
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			}
		}
	}

	ll m = 0;
	for (int j = 0; j <= 9; j++) {
		m = max(m, dp[n][j]);
	}
	cout << n - m << "\n";
	return 0;
}