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整型溢出问题及解决之道

article 2025/1/20 10:56:26

【题目描述】

例题2-2　3n＋1问题

猜想：对于任意大于1的自然数n，若n为奇数，则将n变为3n＋1，否则变为n的一半。

经过若干次这样的变换，一定会使n变为1。例如，3→10→5→16→8→4→2→1。

输入n，输出变换的次数。。

【样例输入】

【样例输出】

【题目来源】

刘汝佳《算法竞赛入门经典第2版》例题2-2　3n＋1问题

【解析】

这道题看似非常简单（老金当初也是这么认为），但却非常容易出错，而且有些细节问题也值得说说。

首先要说的一点是，本题用while循环比用for循环更方便。因为相比for循环，while循环在下面两种情况下更方便：

①循环的次数不确定。

②不是遍历式循环。也就是不像for循环那样用i++遍历某一数据范围。

本题求的就是循环次数，因此是不确定的，而且也没有遍历要求，故而用while更方便。

一、对比，然后知自身之差距也

老金的代码：

int main(){
    int n, i=0;
    scanf("%d", &n);
    while(n!=1) {
        if(n%2 != 0) {
            n = 3*n + 1;
            i++;
        }
        else{
            n = n/2;
            i++;
        }
    }
    printf("%d\n", i);
    return 0;
}

书中的最初代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n, count = 0;
    scanf("%d", &n);
    while(n > 1)
    {
        if(n % 2 == 1) n = n*3+1;
        else n /= 2;
        count++;
    }
    printf("%d\n", count);
    return 0;
}

先不论对错，单是对比两段代码，就可找出一些和书中代码的差距：

①我把统计“变换的次数”的语句i++放在了每个分支语句中，而没有放在循环体内，导致代码重复，单这一点就被甩出一条街。

②这个用于统计“变换的次数”的i++在编程中有一个专门的名称：计数器。计数器是用来统计事件发生的次数的，显然书中用的变量名count比老金的更具可读性。

③while循环条件书中用的是n > 1，我的代码用的是n!=1。咋一看貌似老金的代码更符合题目要求。因为题目要求输出由n变为1的次数，而不是n变为≤1的次数。但是别忘了算法竞赛评定的是结果，而不是过程。只要输出结果是对的，它才不会过问你用的是什么判断条件。如果你看完下面要说的代码bug，就会明白书中为什么会用这个判断条件了。

二、乘法溢出

1、代码bug及原因

测试一下上面的两段代码，输入“987654321”，书中代码会输出结果：1，而老金的代码却什么也不会输出。

发生了什么？

如果想不出原因，就需要进行调试，或者用更简单通用的方法：输出中间结果。

只需要在循环体的最后增加一条输出语句printf（"％d\n"，n），就会将很快找到问题的所在：

①老金代码：屏幕一直在闪，输出的都是负数，程序进入死循环，因而最终什么也不会输出。

②书中的代码：第一次输出为－1332004332，它不大于1，所以循环终止。循环只执行了一次，因而输出1。

现在你明白while循环条件为什么用n>1而不用n!=1了吧，就是为了实现一旦出现bug致使n<1程序也能正常输出（只不过要让人一眼就能看出输出结果是错误的，如本程序中输出1）。

这就是程序的健壮性。

为什么n会出现负值呢？因为乘法溢出了。

老金当初也注意到数据范围的要求，之前也写文章给出算int型数据范围大小的方法，int型最大值为2147483647,看到这个不等式老金就想当然时认定int型可以满足，却没有想到计算过程中3*n会将n的值放大3倍从而导致溢出。

变量、变量，它是一个变化的量，可我在确定数据类型时在潜意识中把它当成了常量。

所以，一定要注意，不仅要满足输入的数值在要求的范围内，计算过程中也不能有任何数值超限。尤其计算过程伴有加法、乘法的情况，要特别小心。

2.修正后的代码

知道问题出在哪，解决起来就简单了，只需改用比int更大的整数类型long long，其范围是。但是记得输入、输出时都要改成“%lld”（还可以用％I64d，I代表Integer，64代表64位）。所以只要把上面书中代码变量n的类型改为long long型，然后将“%d”改为“%lld”即可。

老金实际测试，用%lld、％I64d两种写法都可以，不过按《算法竞赛入门经典》中的说法，long long在Linux下的输入输出格式符为％lld，但Windows平台中有时为％I64d。所以为保险起见，可以改用C++的cin、cout，如果非要用scanf和printf，最好避开这种写法，于是书中给出如下迂回代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n2, count = 0;
    scanf("%d", &n2);
    long long n = n2;
    while(n > 1)
    {
        if(n % 2 == 1) n = n*3+1;
        else n /= 2;
        count++;
    }
    printf("%d\n", count);
    return 0;
}

3.书中迂回代码的不足

上述迂回代码，通过增加一个int中间变量n2将球传给long long。但其实这种写法是有一些问题的。

(1) 对于本题来讲，这种中间变量是没有必要的。

上面的代码可去掉中间变量n2，直接改写成：

#include<stdio.h>
int main()
{
int count = 0;
long long n;
    scanf("%d", &n);
        while(n > 1)
    {
        if(n % 2 == 1) n = n*3+1;
        else n /= 2;
        count++;
    }
    printf("%d\n", count);
    return 0;
}

改后的代码与原代码执行结果完全一样。这段代码的scanf语句竟然使用%d来读取一个long long类型的变量。

这其实没什么不可以。

咱们要明白%d的实质，就是按照int型的大小来读取输入，我们可以将它读取到的数据存储到int型变量中，也完全可以存储到long long型中。

这样做有一个前提，就是输入数据要在int型范围内，否则就会出现溢出错误。

本题要求输入数据， int型完全满足，故此上述代码无问题。

要补充一点，刚刚说的前提“输入数据要在int型范围内”这种表述其实是不准确的，int型能表示的最大数为（即2147483647），实际上是可以超出这个范围的，因为%d是按32位读取的，它可以读取的最大数为（即4294967295），感兴趣的可以测试一下。

(2) 迂回代码存在潜在的数据超限问题。

如果本题要求输入数据，那么上面书中的迂回代码和老金改后代码都会出现数据超限问题。比如输入9876543212，虽然代码都使用了long long型存储变量，但是因为数据已经超出%d的读取范围了，所以读取时只会截取输入数据的前32位（二进制），后面的会被舍去，然后把这个截取后的值存到long long变量。