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约数个数

article 2025/3/1 13:27:17

对于一个数 $x$

$x = {p_1}^{\alpha_1} * {p_2}^{\alpha_2} * {p_3}^{\alpha_3}*...*{p_k}^{\alpha_k}$

其中： $p_n$ 是 $x$ 的各个质因数，上式是 $x$ 的质因数乘积式。

约数个数： $(\alpha_1+1)*(\alpha_2+1)*(\alpha_3+1)*...*(\alpha_k+1)$

约数之和： $({p_1}^0+{p_1}^1+...+{p_1}^{\alpha_1})*({p_2}^0+{p_2}^1+...+{p_2}^{\alpha_2})*...*({p_k}^0+...+{p_k}^{\alpha_k})$

step1：

采用分解质因数的方法，计算出 $x$ 的每一个质因数 $p_n$ 的次数 $\alpha_n$

（分解质因数的blog：http://t.csdnimg.cn/HppLT）

step2：

遍历记录质因数和质因数次数的unordered_map容器primes，套用公式，得到结果

题目如下：

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 109+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 109+7 取模。

数据范围

1≤n≤100
1≤ai≤2×109

解答代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<unordered_map>

using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int mod = 1e9 + 7;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin >> n;
    
    unordered_map<int ,int >primes;
    
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        
        for (int i = 2;i<=x/i;++i)
        {
            while(x % i == 0)
            {
                x = x/i;
                primes[i]++;
            }
        }
        if (x > 1)
        primes[x]++;
    }
    long long  res = 1;
    for (auto i = primes.begin();i != primes.end();++i)
    {
        res = res*((*i).second + 1) % mod;
    }
    cout << res % mod;
    return 0;
}