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数学基础 -- 线性代数之增广矩阵

article 2024/9/25 15:22:56

增广矩阵

增广矩阵（Augmented Matrix）是在求解线性方程组时常用的工具。它将线性方程组的系数矩阵与常数项合并在一起，形成一个扩展的矩阵，从而便于使用矩阵操作方法求解方程组。

定义

假设我们有一个线性方程组：

$\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned}$

其对应的系数矩阵 $A$ 是：

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$

常数项列矩阵 $B$ 是：

$\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

增广矩阵就是将系数矩阵和常数项列矩阵合并，构成的一个新的矩阵 $[A ∣ B]$ 形式：

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} & | & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} & | & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} & | & b_m \end{pmatrix}$

用途

增广矩阵在求解线性方程组中非常有用。通过对增广矩阵进行初等行变换（类似高斯消元法），可以将其化为简化的形式，从而得出线性方程组的解。这种方法简化了手动处理多个方程的复杂性，尤其在使用计算机算法时非常高效。

解法步骤（使用增广矩阵求解线性方程组）

构建增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数项矩阵结合为增广矩阵。
进行初等行变换：对增广矩阵进行高斯消元或高斯-约当消元，将其化为行简化阶梯形矩阵。
提取解：根据化简后的矩阵形式，可以直接得出方程组的解。

增广矩阵的好处在于，它使得整个求解过程可以通过矩阵操作来完成，减少了繁琐的方程处理过程。

增广矩阵常数部分多列的处理方法及详细解析

1. 问题背景

在处理线性方程组时，增广矩阵是常用的工具。通常情况下，增广矩阵的常数部分（即右端项）是一列。但在某些情况下，增广矩阵的常数部分可以包含多列。本文将详细解释这种情况下的处理方法，并通过一个具体的例子进行说明。

2. 多列常数部分的增广矩阵

2.1 例子描述

假设我们有两个线性方程组：

方程组 1：
$\begin{aligned} 2x + y &= 5 \\ 3x + 2y &= 8 \end{aligned}$
方程组 2：
$\begin{aligned} 2x + y &= 4 \\ 3x + 2y &= 6 \end{aligned}$

这两个方程组的系数矩阵相同，但右端项不同。因此我们可以构建一个增广矩阵，其中常数部分包含两列，分别对应两个方程组的右端项。

2.2 构建增广矩阵

对于上述两个方程组，构建的增广矩阵如下：

$\text{增广矩阵} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 5 & 4 \\ 3 & 2 & | & 8 & 6 \end{pmatrix}$

在这个增广矩阵中：

系数矩阵 $A$ 为 $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ 。
常数矩阵 $B$ 包含两列，分别是 $\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ 。

3. 行列梯形法处理增广矩阵

3.1 行列梯形化步骤

我们通过行列梯形法（高斯消元法）对增广矩阵进行处理：

通过将第二行减去 $\frac{3}{2}$ 倍的第一行：
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 5 & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}$
将第二行乘以 2：
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & | & 5 & 4 \\ 0 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}$
通过将第一行减去第二行的1倍：
$\begin{pmatrix} 2 & 0 & | & 4 & 4 \\ 0 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}$
将第一行除以 2，得到最终的行阶梯形：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 2 & 2 \\ 0 & 1 & | & 1 & 0 \end{pmatrix}$