数值分析笔记（六）非线性方程求根
非线性方程求根
二分法
二分法是线性收敛的。
不动点
对于非线性方程 f ( x ) = 0 f(x)=0 f(x)=0，将其转化为 x = φ ( x ) x=\varphi(x) x=φ(x)，若 x ∗ x^* x∗满足 f ( x ∗ ) = 0 f(x^*)=0 f(x∗)=0，称 x ∗ x^* x∗为 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)的不动点。
加速公式
x
k
+
1
=
1
2
[
φ
(
x
k
)
+
x
k
]
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋅
⋅
⋅
x_{k+1}=\frac{1}{2}[\varphi(x_k)+x_k],\quad k=0,1,2,\cdotp\cdotp\cdotp
xk+1=21[φ(xk)+xk],k=0,1,2,⋅⋅⋅
斯蒂芬森迭代法
{
y
k
=
φ
(
x
k
)
,
z
k
=
φ
(
y
k
)
,
x
k
+
1
=
x
k
−
(
y
k
−
x
k
)
2
z
k
−
2
y
k
+
x
k
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
.
\begin{cases}y_k=\varphi(x_k) ,z_k=\varphi(y_k) ,\\x_{k+1}=x_k-\frac{(y_k-x_k)^2}{z_k-2y_k+x_k},\quad k=0,1,2,\cdots.\end{cases}
{yk=φ(xk),zk=φ(yk),xk+1=xk−zk−2yk+xk(yk−xk)2,k=0,1,2,⋯.
是二阶收敛的。
牛顿迭代法
x
k
+
1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
f
′
(
x
k
)
,
k
=
0
,
1
,
2
,
⋅
⋅
⋅
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)},\quad k=0,1,2,\cdotp\cdotp\cdotp
xk+1=xk−f′(xk)f(xk),k=0,1,2,⋅⋅⋅
弦割法
将牛顿法的一阶导数替换为一阶差商，公式如下
x
k
+
1
=
x
k
−
f
(
x
k
)
(
x
k
−
x
k
−
1
)
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
)
=
x
k
−
1
f
(
x
k
)
−
x
k
f
(
x
k
−
1
)
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
)
.
x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)(x_k-x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}=\frac{x_{k-1}f(x_k)-x_kf(x_{k-1})}{f(x_k)-f(x_{k-1})}.
xk+1=xk−f(xk)−f(xk−1)f(xk)(xk−xk−1)=f(xk)−f(xk−1)xk−1f(xk)−xkf(xk−1).
收敛速度慢于牛顿法。