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数学建模强化宝典（6）0-1规划

article 2025/1/25 9:12:43

前言

0-1规划是决策变量仅取值0或1的一类特殊的整数规划。这种规划的决策变量称为0-1变量或二进制变量，因为一个非负整数都可以用二进制记数法用若干个0-1变量表示。在处理经济管理和运筹学中的某些规划问题时，若决策变量采用0-1变量，可把本来需要分别各种情况加以讨论的问题统一在一个问题中讨论。以下是关于0-1规划的详细解析：

一、定义与特点

定义：0-1规划是整数规划的一种特殊形式，其决策变量仅取值0或1。
特点：
变量取值受限：决策变量只能取0或1，这大大限制了可行解的空间。
逻辑性强：由于变量取值只有两种可能，因此0-1规划问题往往具有很强的逻辑性，适合用于描述互斥、选择等约束条件。

二、应用范围

0-1规划在经济管理、运筹学等多个领域有广泛应用，主要包括但不限于以下几个方面：

求解互斥的计划问题：如选择哪种生产方式、哪种运输方式等。
固定费用问题：在决策过程中，某些选择会伴随固定的费用支出，通过0-1规划可以优化这些费用。
指派问题：如分配人员完成任务、分配机器加工零件等，通过0-1规划可以找到最优的指派方案。

三、求解方法

对于0-1规划问题，一般采用隐枚举法（如分枝定界法）进行求解。隐枚举法是一种不完全枚举的方法，它根据目标函数的性质和约束条件的特点，通过逐步缩小搜索范围来找到最优解。此外，对于某些特殊的0-1规划问题（如指派问题），还可以采用匈牙利法等更加高效的求解方法。

四、案例与应用

含有互斥约束条件的问题：例如，在投资决策中，企业可能面临多个互斥的项目选择，通过0-1规划可以优化资源配置，选择最优的投资组合。
固定费用问题：在生产计划中，企业可能需要选择是否购买某些设备或租赁某些资源，这些选择会伴随固定的费用支出。通过0-1规划可以优化这些费用支出，降低生产成本。
指派问题：在人力资源分配中，企业需要将员工指派到不同的任务中。通过0-1规划可以找到最优的指派方案，使得总效率最高或总成本最低。