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【量化交易的数学基础】文科生也能搞懂的线性代数基础：矩阵和向量的那些事儿

article 2024/11/14 22:52:33

今天，我们继续来聊聊听起来有点可怕的线性代数，但其实，理解它并不需要你具备什么“数学天赋”。只需要一点点好奇心和一点点耐心。坐稳了，我们要启航了！

1. 矩阵和向量的基本概念和运算

矩阵和向量是什么鬼？

想象一下，矩阵就像一个表格，横竖排列了一堆数字，比如说我们有个3x3的方阵（对，你没听错，就是一个三行三列的“井”字）：

在这里插入图片描述

这不就是一个表格吗？没错！矩阵就是这样一个神奇的东西，在金融领域可是个大明星，它能帮助我们处理多维数据，轻松搞定一大堆复杂的计算！

而向量呢？可以看成是一个特殊的矩阵，只有一行或者一列。比如：

在这里插入图片描述

举个栗子：Python 中的矩阵和向量

我们来用 Python 实现一个简单的矩阵和向量，顺便做点小运算吧！

import numpy as np

# 创建一个3x3的矩阵
A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print("矩阵 A:")
print(A)

# 创建一个3x1的列向量
v = np.array([[1], [2], [3]])
print("\n向量 v:")
print(v)

# 矩阵和向量相乘
result = np.dot(A, v)
print("\n矩阵 A 和 向量 v 的乘积:")
print(result)

解读一下代码

np.array：这个函数用来创建一个数组（矩阵或向量）。你可以把它想象成制作了一个小表格，填上了数据。
np.dot：这是矩阵乘法的符号，能帮我们快速计算矩阵和向量的乘积。

矩阵和向量的乘法有啥用？想象一下，如果你有三只股票，它们每天的价格变化都不同，你可以用一个矩阵来表示这些变化，再用一个向量来表示每只股票的持有量，乘起来就能快速算出你每天的总收益。是不是很神奇？

2. 矩阵的逆、转置和行列式的概念

（1）. 矩阵的转置：颠倒乾坤

矩阵的转置就是把矩阵的行和列对调一下。比如：

在这里插入图片描述

Python 小试牛刀：

# 矩阵 A
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 矩阵的转置
A_T = A.T
print("\n矩阵 A 的转置:")
print(A_T)

（2）. 矩阵的逆：左手倒右手

如果你有一个 2x2 矩阵 A：

在这里插入图片描述

它的逆矩阵 (A^{-1}) 是：

在这里插入图片描述

注意，只有行列式（determinant）不为零的矩阵才有逆矩阵！

Python 再来一遍：

# 计算矩阵的逆
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("\n矩阵 A 的逆:")
print(A_inv)

（3）. 行列式：让矩阵有“个性”的神奇数

行列式是一个值，描述了矩阵的一些“个性特征”，尤其在判断矩阵是否可逆时非常有用。

在这里插入图片描述

如果行列式为零，矩阵就不可逆。在 Python 中计算行列式也很简单：

# 计算矩阵的行列式
det_A = np.linalg.det(A)
print("\n矩阵 A 的行列式:")
print(det_A)

行列式为零意味着什么？举个例子，你有一张薄薄的纸（二维的平面），如果这张纸被压成了一条直线（降维了），那么无论你怎么转动这条直线，都无法“撑”出一个二维的平面了。这就是为什么行列式为零时，矩阵不可逆。

3. 线性方程组的求解和应用

解线性方程组：Python 一招搞定

想象你有两个方程：

在这里插入图片描述

如何解这个方程组？其实我们可以用矩阵来表示这个方程组，并用矩阵运算求解！

用矩阵表示上面的方程组：

在这里插入图片描述

Python 解方程：

# 系数矩阵
A = np.array([[2, 3], [4, 6]])
# 结果向量
b = np.array([5, 10])

# 解线性方程组 Ax = b
x = np.linalg.solve(A, b)
print("\n线性方程组的解:")
print(x)

哎呀，这里出了点问题！

刚才，我们用 Python 解了一个线性方程组，但发现它竟然没有解！这是因为这个方程组出现了“矩阵退化”的情况。

什么是“矩阵退化”？

简单来说，“矩阵退化”是指两个方程或者更多方程实际上是同一个方程的多次写法。比如我们的例子：

在这里插入图片描述

你会发现，第二个方程其实是第一个方程的两倍！这意味着它们没有提供任何新的信息，反而是重复了一次。所以，这个系统是“退化”的。

遇到“矩阵退化”该怎么办？

当我们发现矩阵退化时，这就表示我们手头的方程组并没有提供足够的信息来唯一确定一个解。怎么办呢？我们有几个处理方法：

检查数据和模型： 先看看你的数据或者模型是不是有错误，比如是不是把同样的公式写了两遍？如果有重复的或者无效的信息，删掉它们，重新开始。
寻找更多的信息： 如果目前的方程提供的信息不够，我们可能需要找到更多的方程（或者数据）来补充信息，确保可以得到唯一解。
接受无穷解的情况： 有时候，退化的矩阵意味着系统有无穷多个解。这在金融里也不罕见，比如在一个投资组合中，多个因子的影响可能是互相抵消的，导致没有唯一解。在这种情况下，我们可能需要引入更多的约束条件来锁定一个解。

金融量化领域遇到这种情况时怎么办？

在金融量化领域，尤其是在多因子模型中，我们经常会遇到类似的情况，比如：

因子重合： 两个因子可能表达的是类似的信息（比如两个因子都代表某个股票的价值）。这时候，模型会退化，因为这两个因子其实是重复的。
不充分的数据： 当我们没有足够的市场数据或者因子来解释一个股票的价格变化时，也会出现退化的情况。

如果你发现了退化的情况，首先要检查你的模型和数据。确认所有的因子是否独立并且有意义。如果数据和因子没有问题，但仍然没有唯一解，这时候可以考虑引入正则化方法或者加一些限制条件（比如限制某个因子权重的范围）来解决这个问题。

Python 代码实例：

让我们用 Python 来看看如何识别退化的情况：

import numpy as np

# 系数矩阵（退化矩阵）
A = np.array([[2, 3], [4, 6]])
# 结果向量
b = np.array([5, 10])

try:
    # 尝试解线性方程组 Ax = b
    x = np.linalg.solve(A, b)
    print("\n线性方程组的解:")
    print(x)
except np.linalg.LinAlgError as e:
    print("\n哎呀，这个线性方程组无法解！原因是:", e)