数学基础 -- 微积分之数列与级数
数列与级数
1. 数列和级数的基本概念
1.1 数列（Sequence）
数列是按照一定的规律排成的一列数，形式为：
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
,
…
a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots
a1,a2,a3,…,an,…
其中， a n a_n an 表示数列的第 n n n 项。数列可以是有限的或无限的。
常见的数列类型：
- 等差数列：每一项与前一项的差值相等，公式为：
a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d a_n = a_1 + (n-1) \cdot d an=a1+(n−1)⋅d - 等比数列：每一项与前一项的比值相等，公式为：
a n = a 1 ⋅ r n − 1 a_n = a_1 \cdot r^{n-1} an=a1⋅rn−1
1.2 级数（Series）
级数是数列各项相加得到的和，形式为：
S
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+
…
S = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots
S=a1+a2+a3+…
级数可以是有限的（有限项相加）或无限的（无限项相加）。
常见的级数类型：
- 等差级数：由等差数列构成的级数，部分和公式为：
S n = n 2 ⋅ ( a 1 + a n ) S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) Sn=2n⋅(a1+an) - 等比级数：由等比数列构成的级数，部分和公式为：
S n = a 1 ⋅ 1 − r n 1 − r (当 r ≠ 1 ) S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad \text{(当 } r \neq 1) Sn=a1⋅1−r1−rn(当 r=1)
对于 ∣ r ∣ < 1 |r| < 1 ∣r∣<1，无限等比级数的和为：
S = a 1 1 − r S = \frac{a_1}{1 - r} S=1−ra1
1.3 收敛与发散
对于一个无限级数，如果其部分和趋向于某个有限值，则称级数收敛；否则称其发散。
例如：
- 收敛的级数： 1 2 + 1 4 + 1 8 + … = 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 1 21+41+81+…=1
- 发散的级数： 1 + 1 + 1 + … = ∞ 1 + 1 + 1 + \ldots = \infty 1+1+1+…=∞
2. 数列和函数的联系
- 数列可以看作是函数的特例：数列
a
n
a_n
an 可以看作是从自然数集
N
\mathbb{N}
N 映射到实数集
R
\mathbb{R}
R 的函数
f
(
n
)
f(n)
f(n)：
a n = f ( n ) a_n = f(n) an=f(n) - 数列的极限是函数极限的特例：如果数列的极限存在，即：
lim n → ∞ a n = L \lim_{n \to \infty} a_n = L n→∞liman=L
这类似于函数在无穷远处的极限。
2.1 重要的数列
-
斐波那契数列：
F 1 = 1 , F 2 = 1 , F n = F n − 1 + F n − 2 ( n ≥ 3 ) F_1 = 1, F_2 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \quad (n \geq 3) F1=1,F2=1,Fn=Fn−1+Fn−2(n≥3)
该数列的前几项为：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … -
调和数列：
a n = 1 n a_n = \frac{1}{n} an=n1
该数列的前几项为：1, 1 2 \frac{1}{2} 21, 1 3 \frac{1}{3} 31, 1 4 \frac{1}{4} 41, …
3. 第 n n n 项判别法
第 n n n 项判别法是判断无穷级数是否发散的基本方法。其核心内容为：
- 如果 lim n → ∞ a n ≠ 0 \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 limn→∞an=0，则级数 ∑ a n \sum a_n ∑an 发散。
- 如果 lim n → ∞ a n = 0 \lim_{n \to \infty} a_n = 0 limn→∞an=0，则级数可能收敛，也可能发散，需要使用其他判别法。
3.1 例子
-
发散级数：
∑ n = 1 ∞ 1 \sum_{n=1}^{\infty} 1 n=1∑∞1
因为 lim n → ∞ 1 = 1 ≠ 0 \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0 limn→∞1=1=0，该级数发散。 -
调和级数：
∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} n=1∑∞n1
虽然 lim n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 limn→∞n1=0，但该级数发散。
4. 比较判别法
比较判别法通过比较两个非负项级数的大小关系来判断一个级数的收敛或发散性。
4.1 直接比较判别法
假设对于所有 n n n，我们有 0 ≤ a n ≤ b n 0 \leq a_n \leq b_n 0≤an≤bn：
- 如果 ∑ b n \sum b_n ∑bn 收敛，则 ∑ a n \sum a_n ∑an 也收敛。
- 如果 ∑ a n \sum a_n ∑an 发散，则 ∑ b n \sum b_n ∑bn 也发散。
4.2 极限比较判别法
如果存在正的有限常数
L
L
L，使得：
lim
n
→
∞
a
n
b
n
=
L
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L
n→∞limbnan=L
则两个级数
∑
a
n
\sum a_n
∑an 和
∑
b
n
\sum b_n
∑bn 要么同时收敛，要么同时发散。
4.3 例子
-
直接比较判别法例子：
∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1} n=1∑∞n2+11
通过与已知收敛的级数 ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑n21 比较，可以判断该级数收敛。 -
极限比较判别法例子：
∑ n = 1 ∞ 3 n + 1 n 3 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n + 1}{n^3 + 2} n=1∑∞n3+23n+1
计算项比极限：
lim n → ∞ 3 n + 1 n 3 + 2 1 n 2 = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n + 1}{n^3 + 2}}{\frac{1}{n^2}} = 3 n→∞limn21n3+23n+1=3
由于极限为正的有限值，且 ∑ 1 n 2 \sum \frac{1}{n^2} ∑n21 收敛，因此原级数收敛。
总结：
- 第 n n n 项判别法用于判断级数发散性。
- 比较判别法通过与已知的级数比较来判断级数的收敛或发散。