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【高等代数笔记】（14-17）N阶行列式

article 2024/11/18 14:41:24

2. N阶行列式

2.6代数余子式

3阶行列式：
$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22}& a_{12} \\ a_{21}& a_{33} \\ \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21}& a_{23} \\ a_{31}& a_{33} \\ \end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix} a_{21}& a_{22} \\ a_{31}& a_{32} \\ \end{vmatrix}$
我们将 $\begin{vmatrix} a_{22}& a_{12} \\ a_{21}& a_{33} \\ \end{vmatrix}$ 称为 $a_{11}$ 的余子式 $M_{11}$ ，将 $A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}$ 称为 $a_{11}$ 的代数余子式，
同样地，将 $\begin{vmatrix} a_{21}& a_{23} \\ a_{31}& a_{33} \\ \end{vmatrix}$ 称为 $a_{12}$ 的余子式 $M_{12}$ ，将 $A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}$ 称为 $a_{12}$ 的代数余子式，
将 $\begin{vmatrix} a_{21}& a_{22} \\ a_{31}& a_{32} \\ \end{vmatrix}$ 称为 $a_{13}$ 的余子式 $M_{13}$ 将 $A_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}$ 称为 $a_{13}$ 的代数余子式。
所以 $|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}$
探究此结论是否能推广到3阶行列式？

【定义1】 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ ，划去 $\boldsymbol{A}$ 的 $(i, j)$ 元所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列剩下的元素按原来的顺序构成一个 $n - 1$ 阶行列式称为 $\boldsymbol{A}$ 的 $(i, j)$ 元的余子式，记作 $M_{ij}$ ， $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的 $(i, j)$ 元的代数余子式。

2.7 行列式按某一行（列）展开

【定理1】 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij},i\in\{1,2,...,n\}$
【证】取定 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行（取定行指标，列指标顺序未定）， $\sum\limits_{jk_{1}...k_{i-1}k_{i-2}..k_{n}}(-1)^{\tau(i,1,...,i-1,i+1,...,n)}a_{ij}a_{1,k_{1}}...a_{i-1,k_{i-1}}a_{i+1,k_{i+1}}...a_{n,k_{n}}(i和后面i-1个构成逆序，列指标逆序类似)=\sum\limits_{jk_{1}...k_{i-1}k_{i-2}..k_{n}}(-1)^{((i-1)+(j-1)+\tau(k_{1}...k_{i-1}k_{i+1}...k_{n})(抛除j))}a_{ij}a_{1,k_{1}}...a_{i-1,k_{i-1}}a_{i+1,k_{i+1}}...a_{n,k_{n}}=\sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j-2}a_{ij}\sum\limits_{k_{1}...k_{i-1}k_{i+1}...k_{n}}(-1)^{\tau(k_{1}...k_{i-1}k_{i+1}...k_{n})}a_{1k_{1}}...a_{i-1,k_{i}-1}a_{i+1.k_{i}+1}...a_{nk_{n}} =\sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\sum\limits_{k_{1}...k_{i-1}k_{i+1}...k_{n}}(-1)^{\tau(k_{1}...k_{i-1}k_{i+1}...k_{n})}a_{1k_{1}}...a_{i-1,k_{i}-1}a_{i+1.k_{i}+1}...a_{nk_{n}}=\sum\limits_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
按列展开同理
证毕

【定理2】 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij},j\in\{1,2,...,n\}$
【证】 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}'|(按第j行（相当于\boldsymbol{A}的第j列）展开)=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}$

【定理3】 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ ，当 $k\ne i$ 时， $a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+...+a_{in}A_{kn}=0$
【证】根据等式左边构造一个新的行列式：
$a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+...+a_{in}A_{kn}=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} &...& a_{1n}\\ ...& ... &...& ...\\ a_{i1}& a_{i2} &...& a_{in}\\ ...& ... &...& ...\\ a_{i1}& a_{i2} &...& a_{in}\\ ...& ... &...& ...\\ a_{n1}& a_{n2} &...& a_{nn}\\ \end{vmatrix}=0$

【定理4】 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ ，当 $j\ne l$ 时， $a_{1j}A_{1l}+a_{2j}A_{2l}+...+a_{nj}A_{nl}=0$

2.8 n阶范德蒙（范德蒙德）行列式

【例1】计算 $\begin{vmatrix} 1& 1 &1\\ a_{1}& a_{2} & a_{3} \\ a_{1}^{2}& a_{2}^{2} & a_{3}^{2} \\ \end{vmatrix}$ .
【解】 $\begin{vmatrix} 1& 1 &1\\ a_{1}& a_{2} & a_{3} \\ a_{1}^{2}& a_{2}^{2} & a_{3}^{2} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& 1 &1\\ a_{1}& a_{2} & a_{3} \\ 0& a_{2}^{2}-a_{1}a_{2} & a_{3}^{2}-a_{1}a_{3} \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1& 1 &1\\ 0& a_{2}-a_{1} & a_{3}-a_{1} \\ 0& a_{2}(a_{2}-a_{1}) & a_{3}(a_{3}-a_{1}) \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{2}-a_{1} & a_{3}-a_{1} \\ a_{2}(a_{2}-a_{1}) & a_{3}(a_{3}-a_{1}) \\ \end{vmatrix}=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a_{2} & a_{3} \\ \end{vmatrix}=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})(a_{3}-a_{1})$

将上面的例子推广到 $n$ 阶段即为范德蒙行列式：
$\begin{vmatrix} 1& 1 &...&1\\ a_{1}& a_{2} &...&a_{n} \\ a_{1}^{2}& a_{2}^{2} & ...& a_{n}^{2}\\ ...& ... & ...& ...\\ a_{1}^{n-1}& a_{2}^{n-1} & ...& a_{n}^{n-1}\\ \end{vmatrix}=(a_{2}-a_{1})(a_{3}-a_{1})...(a_{n}-a_{1})(a_{3}-a_{2})...(a_{n}-a_{2})...(a_{n}-a_{n-1})=\prod\limits_{1\le j<i\le n}(a_{i}-a_{j})$
【证】当 $n = 2$ 时，显然成立
假设 $n - 1$ 阶范德蒙行列式成立，则我们来看 $n$ 阶范德蒙行列式的情况，把 $n - 1$ 行的 $a_{1}$ 倍加到第 $n$ 行上，然后把第 $n - 2$ 行的 $a_{1}$ 倍加到第 $n - 1$ 行上，以此类推，最后把第1行的 $a_{1}$ 倍加到第2行上，得到：
原式 $=\begin{array}{l} \left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a_{2}-a_{1} & a_{3}-a_{1} & \cdots & a_{n}-a_{1} \\ 0 & a_{2}^{2}-a_{1} a_{2} & a_{3}^{2}-a_{1} a_{3} & \cdots & a_{n}^{2}-a_{1} a_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{2}^{n-2}-a_{1} a_{2}^{n-3} & a_{3}^{n-2}-a_{1} a_{3}^{n-3} & \cdots & a_{n}^{n-2}-a_{1} a_{n}^{n-3} \\ 0 & a_{2}^{n-1}-a_{1} a_{2}^{n-2} & a_{3}^{n-1}-a_{1} a_{3}^{n-2} & \cdots & a_{n}^{n-1}-a_{1} a_{n}^{n-2} \end{array}\right|\\ \begin{array}{l} =\left|\begin{array}{cccc} a_{2}-a_{1} & a_{3}-a_{1} & \cdots & a_{n}-a_{1} \\ a_{2}\left(a_{2}-a_{1}\right) & a_{3}\left(a_{3}-a_{1}\right) & \cdots & a_{n}\left(a_{n}-a_{1}\right) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2}^{n-3}\left(a_{2}-a_{1}\right) & a_{3}^{n-3}\left(a_{3}-a_{1}\right) & \cdots & a_{n}^{n-3}\left(a_{n}-a_{1}\right) \\ a_{2}^{n-2}\left(a_{2}-a_{1}\right) & a_{3}^{n-2}\left(a_{3}-a_{1}\right) & \cdots & a_{n}^{n-2}\left(a_{n}-a_{1}\right) \end{array}\right| \\ =\left|\left.\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2}^{n-3} & a_{3}^{n-3} & \cdots & a_{n}^{n-3} \\ a_{2}^{n-2} & a_{3}^{n-2} & \cdots & a_{n}^{n-2} \end{array} \right\rvert\,\right. \end{array}\\ \xlongequal{\text { 用归纳假设 }}\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{1}\right) \cdots\left(a_{n}-a_{1}\right) \prod\limits_{2 \leq j<i \leq n}\left(a_{i}-a_{j}\right)\\ =\prod\limits_{1 \leq j<i \leqslant n}\left(a_{i}-a_{j}\right) \end{array}$

2.9 数域 $\textbf{K}$ 上 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组的解与行列式的关系

增广矩阵 $\tilde{\boldsymbol{A}}$ 经过初等行变换化成阶梯型矩阵 $\tilde{\boldsymbol{J}}$ ，此时方程组的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 在增广矩阵经过初等行变换化成阶梯型矩阵的时候，这些初等行变换也就把系数矩阵化成了阶梯型矩阵 $\boldsymbol{J}$

方程组无解（出现 $0=d(d\ne 0)$ 这样的方程） $\Rightarrow\tilde{\boldsymbol{J}}$ 有非0行 $(0,0,...,0,d),d\ne 0\Rightarrow\boldsymbol{J}$ 有零行 $\Rightarrow|\boldsymbol{J}|=0$ ；
方程组有解（没有 $0=d(d\ne 0)$ 这样的方程）
(1)有无穷多个解 $\Rightarrow\tilde{\boldsymbol{J}}$ 非零行的数目 $r < n$ （ $n$ 为未知数个数， $\tilde{\boldsymbol{J}}$ 有 $n$ 个行） $\Rightarrow\tilde{\boldsymbol{J}}$ 有零行 $\Rightarrow\boldsymbol{J}$ 有零行 $\Rightarrow|\boldsymbol{J}|=0$
(2)有唯一解 $\Rightarrow\tilde{\boldsymbol{J}}$ 非零行的数目 $r=n\Rightarrow\tilde{\boldsymbol{J}}$ 的每一行都是非零行，即有 $n$ 个非零行 $\Rightarrow\boldsymbol{J}$ 有 $n$ 个非零行 $\Rightarrow\boldsymbol{J}$ 有 $n$ 个主元 $\Rightarrow\boldsymbol{J}=\begin{pmatrix} c_{11}& ... & ... & c_{n1}\\ 0& c_{12}& ... & c_{n2}\\ ...& ... & ... &\vdots \\ 0& 0 & ... &c_{nn} \end{pmatrix},(c_{11},c_{22},...,c_{nn}\ne 0)\Rightarrow|\boldsymbol{J}|=c_{11}c_{22}...c_{nn}\ne 0$
因此 $n$ 元线性方程组有唯一解 $\Leftrightarrow|\boldsymbol{J}|\ne 0$
由于 $|\boldsymbol{J}|=l|\boldsymbol{A}|(l\ne 0)$
因此 $|\boldsymbol{J}|\ne 0\Leftrightarrow|\boldsymbol{A}|\ne 0$

【定理1】数域 $\textbf{K}$ 上 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组有唯一解 $\Leftrightarrow$ 它的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|\ne 0$
【注】证明在上面

【推论1】数域 $\textbf{K}$ 上 $n$ 个方程的 $n$ 元齐次线性方程组只有零解（有唯一解） $\Leftrightarrow$ 它的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|\ne 0$ ，从而数域 $\textbf{K}$ 上 $n$ 个方程的 $n$ 元齐次线性方程组有非零解（即有无穷多解） $\Leftrightarrow$ 它的系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式 $|\boldsymbol{A}|= 0$

2.10 行列式的几何意义

在几何学中，实数域上的二阶行列式 $\begin{vmatrix} a_{1} &b_{1} \\ a_{2} &b_{2} \end{vmatrix}$ 表示坐标分别为 $\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}$ 的向量 $\vec{a},\vec{b}$ 张成的平行四边形的定向面积，从 $\vec{a}$ 到 $\vec{b}$ 的旋转方向是逆时针，则该定向面积是正的，如果是顺时针方向，则为负。

实数域上的三阶行列式 $\begin{vmatrix} a_{1} &b_{1} & c_{1} \\ a_{2} &b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{vmatrix}$ 表示坐标分别为 $\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} c_{1}\\ c_{2}\\ c_{3} \end{pmatrix}$ 的向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 张成的平行六面体的定向体积。

拿出右手，然后四指从 $\vec{a}$ 弯向 $\vec{b}$ ，大拇指和 $\vec{c}$ 一致就是正的，这就是右手系，否则就是负的。

2.11 k阶子式

$n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ ，取定 $k$ 行和 $k$ 列，第 $i_{1},i_{2},...,i_{k}$ 行（其中 $i_{1}<i_{2}<...<i_{k}$ ），第 $j_{1},j_{2},...,j_{k}$ 列（其中 $j_{1}<j_{2}<...<j_{k}$ ），这 $k$ 行和 $k$ 列交叉处有 $k^{2}$ 个元素按照原来的排法形成一个 $k$ 阶行列式，称它为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个 $k$ 阶子式，记作 $\boldsymbol{A}\begin{pmatrix} i_{1},i_{2},...,i_{k}\\ j_{1},j_{2},...,j_{k} \end{pmatrix}$ ，划去上述 $k$ 行和 $k$ 列，剩下的元素按原来的排法，形成一个 $n - k$ 阶行列式。称为 $k$ 阶子式的余子式。令 $\ { i 1 , i 2 , ⋯ , i k } \left\{i_{1}^{\prime}, i_{2}^{\prime}, \cdots, i_{n-k}^{\prime}\right\}=\{1,2, \cdots, n\} \backslash\left\{i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{k}\right\}$ （集合减法）其中 $i_{1}^{\prime}<i_{2}^{\prime}<...<i_{n-k}^{\prime}$ ，令 $\ { j 1 , j 2 , ⋯ , j k } \left\{j_{1}^{\prime}, j_{2}^{\prime}, \cdots, j_{n-k}^{\prime}\right\}=\{1,2, \cdots, n\} \backslash\left\{j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{k}\right\}$ ，其中 $j_{1}^{\prime}<j_{2}^{\prime}<...<j_{n-k}^{\prime}$ ，则 $k$ 阶子式的余子式也是 $\boldsymbol{A}$ 的一个 $n - k$ 阶子式： $\boldsymbol{A}\binom{i_{1}^{\prime}, i_{2}^{\prime}, \cdots, i_{n-k}^{\prime}}{j_{1}^{\prime}, j_{2}^{\prime}, \cdots, j_{n-k}^{\prime}}$ ，将 $(-1)^{\left(i_{1}+i_{2}+\cdots+i_{k}\right)+\left(j_{1}+j_{2}+\cdots+j_{k}\right)}\boldsymbol{A}\binom{i_{1}^{\prime}, i_{2}^{\prime}, \cdots, i_{n-k}^{\prime}}{j_{1}^{\prime}, j_{2}^{\prime}, \cdots, j_{n-k}^{\prime}}$ 称为 $k$ 阶子式的代数余子式。