2024年高教社杯数学建模国赛B题超详细解题思路

问题一

题目：

供应商声称一批零配件（零配件 1 或零配件 2）的次品率不会超过某个标称值。

企业准备采用抽样检测方法决定是否接收从供应商购买的这批零配件，检测费用由企业自行

承担。请为企业设计检测次数尽可能少的抽样检测方案。

如果标称值为 10%，根据你们的抽样检测方案，针对以下两种情形，分别给出具体结果：

(1) 在 95%的信度下认定零配件次品率超过标称值，则拒收这批零配件；

(2) 在 90%的信度下认定零配件次品率不超过标称值，则接收这批零配件。

第一题题目要求我们在两种情况下的抽样检测方案，题目提到了信度，也就是统计学意义上的置信区间，标准值就10%，就构造统计检验量，计算出相关指标，去对比，通过统计学知识得出结论。这道题的重点是选择一个合适的检验方法。

常见方法：

1、有关平均值参数u的假设检验

根据是否已知方差,分为两类检验：U检验和T检验。
如果已知方差，则使用U检验，如果方差未知则采取T检验。

2、有关参数方差σ2的假设检验

F检验是对两个正态分布的方差齐性检验，简单来说，就是检验两个分布的方差是否相等

3、检验两个或多个变量之间是否关联

卡方检验属于非参数检验，主要是比较两个及两个以上样本率（构成比）以及两个分类变量的关联性分析。根本思想在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或者拟合优度问题。

1. 大样本参数假设检验（非正态分布）
2. 0-1分布参数检验
3. 

问题二模型

已知两种零配件和成品次品率，请为企业生产过程的各个阶段作出决策：

(1) 对零配件是否进行检测，如果对某种零配件不检测，这种零配件将直接进入到装配环节；否则将检测出的不合格零配件丢弃；

(2) 对装配好的每一件成品是否进行检测，如果不检测，装配后的成品直接进入到市场；否则只有检测合格的成品进入到市场；

(3) 对检测出的不合格成品是否进行拆解，如果不拆解，直接将不合格成品丢弃；否则对拆解后的零配件，重复步骤(1)和步骤(2)；

(4) 对用户购买的不合格品，企业将无条件予以调换，并产生一定的调换损失（如物流成本、企业信誉等）。对退回的不合格品，重复步骤(3)。请根据你们所做的决策，对表 1 中的情形给出具体的决策方案，并给出决策的依据及相应的指标结果。

题目给了几种情况的零件是否检测，是否拆解，并且前面的是否检测是否拆解影响到最后的用户调换，企业的目标一定是总成本最小，所以我们可以以这个为思路方向做一个优化模型，优化模型三要素：约束条件，决策变量，目标函数，首先从决策变量入手，决策变量就是前三个是否检测（拆解）这里检测概率或者检测比例，当然，检测出几个残次品，几个不合格零件的概率不同，算出来概率又有两个方向，1.这里有一个思路是计算期望值，算出检验出不同数量的零件的期望值，还有在检验出不同数量零件下的成品检验出概率，成品就是要考虑条件期望。2.算出不同成本的概率，让总成本最低的概率最大。

为了优化企业生产过程中的质量控制与成本效益，我们需要综合考虑零配件的检测、成品的检测、成品不合格后的处理以及用户退回不合格品后的处理等因素。以下是对这四个方面的决策建议：

1. 1. 对零配件的检测决策

零配件 1 和零配件 2 的检测决策：

检测零配件 1 和零配件 2：虽然增加了检测的成本，但可以有效减少不合格零配件进入装配环节，从而降低成品的不合格率。这种方式在长远中可能更有利于企业的质量控制和市场声誉。

不检测零配件 1 和/或零配件 2：可以节省检测成本，但可能会将不合格零配件带入装配阶段，从而增加成品的不合格率，并可能引发后续更多的处理和调换成本。

建议：检测所有的零配件，尤其是当零配件的不合格率较高时。检测的好处在于能够更早发现问题，避免不合格零配件进入装配环节，从而降低后续的成品不合格率。

1. 1.  对装配好的每一件成品的检测决策

成品的检测决策：

检测成品：可以确保只有合格的成品进入市场，避免因成品不合格而带来的退货和调换损失，保护企业声誉。

不检测成品：节省检测成本，但有可能增加市场上不合格成品的风险，从而导致退货、调换和潜在的声誉损失。

建议：进行成品检测。虽然增加了成本，但可以大幅降低市场上出现不合格品的风险，并减少客户退货和调换的负担。

1. 1. 对检测出的不合格成品的处理决策

处理不合格成品的决策：

不拆解：直接丢弃不合格成品，可以减少拆解的成本，但可能会错过对零配件进行再检测的机会。

拆解：拆解不合格成品后，再对拆解出的零配件进行检测，可能会发现不合格零配件，并有机会进行修正。

建议：拆解不合格成品并重新检测。这可以进一步识别问题的根源，并在必要时对零配件进行更详细的检测和处理。

1. 1. 对用户退回的不合格品的处理决策

处理退回的不合格品的决策：

不拆解退回品：直接丢弃退回的不合格品，可以节省拆解成本，但无法进一步利用这些零配件。

拆解退回品：对退回的不合格品进行拆解并重复检测，能够重新验证零配件的质量问题，并可能从中获取一些有价值的信息以改善生产过程。

建议：拆解退回的不合格品。这样可以更好地理解问题的根源，并且如果可以从中发现有效的改进点，有助于减少未来的不合格品率。

决策依据与指标结果

检测成本 vs. 不合格品成本：检测零配件和成品的成本应低于处理不合格品带来的潜在损失，包括退换货、调换成本、客户投诉处理等。

生产效率：检测可能导致生产速度下降，但长期可以提高产品质量，减少市场上的不合格品，从而提高客户满意度和企业信誉。

市场声誉：通过严格的质量控制措施，可以增强市场信任和品牌声誉，减少因产品不合格而造成的信誉损失。

通过上述决策方案，企业可以在确保产品质量的同时，优化生产成本和提升客户满意度，从而实现长期的可持续发展。

问题二算法

1. 1. 遗传算法

遗传算法定义：

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型，是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法。

遗传算法执行过程：

1）初始化：设置最大迭代进化次数T，随机生成M个个体作为初始种群P(0);

2）个体评价：计算当前种群P(t)中的个体适应度；

3）选择：在个体评价之后，对群体进行选择操作目的是将优秀个体的基因通过组合配对交叉遗传到下一代种群中；

4）交叉：遗传算法中的核心部分；

5）变异：在个体基因的基础上进行变动，模拟自然界的基因突变，其变异结果的好坏不定；

6）终止条件：若迭代次数达到预先设定的T，将迭代过程中具有最优适应度的个体作为问题的解输出。

遗传算法有两个明显的缺点：

一是出现早熟往往是由于种群中出现了某些超级个体，随着模拟生物演化过程的进行，这些个体的基因物质很快占据种群的统治地位，导致种群中由于缺乏新鲜的基因物质而不能找到全局最优值；

另一个主要原因是由于遗传算法中选择及杂交变异等算子的作用，使得一些优秀的基因片段过早丢失，从而限制了搜索范围，使得搜索只能在局部范围内找到最优值，而不能得到满意的全局最优值。

为提高遗传算法的搜索效率并保证得到问题的最优解，从以下几个方面对简单遗传算法进行改进：

1. 编码方案；
2. 适应度函数；
3. 选择交叉和变异；

相关生物术语：

1.基因型(genotype)：性状染色体的内部表现；

2.表现型(phenotype)：染色体决定的性状的外部表现，或者说，根据基因型形成的个体的外部表现；

3.进化(evolution)：种群逐渐适应生存环境，品质不断得到改良。生物的进化是以种群的形式进行的。

4.适应度(fitness)：度量某个物种对于生存环境的适应程度。

选择(selection)：以一定的概率从种群中选择若干个个体。一般，选择过程是一种基于适应度的优胜劣汰的过程。

5.复制(reproduction)：细胞分裂时，遗传物质DNA通过复制而转移到新产生的细胞中，新细胞就继承了旧细胞的基因。

6.交叉(crossover)：两个染色体的某一相同位置处DNA被切断，前后两串分别交叉组合形成两个新的染色体。也称基因重组或杂交；

7.变异(mutation)：复制时可能（很小的概率）产生某些复制差错，变异产生新的染色体，表现出新的性状。

8.编码(coding)：DNA中遗传信息在一个长链上按一定的模式排列。遗传编码可看作从表现型到基因型的映射。

9.解码(decoding)：基因型到表现型的映射。

10.个体（individual）：指染色体带有特征的实体；

11.种群（population）：个体的集合，该集合内个体数称为种群

问题三四模型

对m道工序、n个零配件，已知零配件、半成品和成品的次品率，重复问题2，给出生产过程的决策方案。图 1 给出了 2 道工序、8 个零配件的情况.

对于问题三，本质与问题二类似，就是多了一个中间流程，计算条件概率麻烦，实际问题没有变化，可以按照问题二的思路去做即可。

问题四模型

假设问题 2 和问题 3 中零配件、半成品和成品的次品率均是通过抽样检测方法（例如，你在问题 1 中使用的方法）得到的，请重新完成问题 2 和问题 3。

对于问题四，题目其实需要你设计一种抽样方案，抽样方案实际上会影响题目中的检测成本，不同的抽样方案对最后总成本的影响是不一样的，不同的抽样方案的可信度也不一样，这里可以设计为一个概率学问题，这里更多的是对二三问的一个升级，增加一个决策变量重新完成优化模型，抽样方案可以查找文献等方法确定。

按抽样方案制定原理分为：标准型抽样方案、挑选型抽样方案、调整型抽样方案、连续生产型抽样方案。

1．计量型抽样方案

有些产品的质量特性，如灯管寿命、棉纱拉力、炮弹的射程等，是连续变化的。用抽取样本的连续尺度定量地衡量一批产品质量的方法称为计量抽样检验方法。

2．计数抽样方案

有些产品的质量特性，如焊点的不良数、测试坏品数以及合格与否，只能通过离散的尺度来衡量，把抽取样本后通过离散尺度衡量的方法称为计数抽样检验。计数抽样检验中对单位产品的质量采取计数的方法来衡量，对整批产品的质量，一般采用平均质量来衡量。

计数抽样检验方案又可分为：标准计数一次抽检方案、计数挑选型一次抽检方案、计数调整型一次抽检方案、计数连续生产型抽检方案、二次抽检、多次抽检等。

抽样检验这门科学，就是用尽量少的样本量，来尽量准确的判断总体质量状况，这是一个很复杂的领域。欲达到上述目的，根据不同种情况要用不同的抽样方案或抽样系统。到目前为止，我国已正式颁布了20个关于抽样检验的国家标准，如下：

GB2828—87逐批检查计数抽样程序及抽样表（适用于连续批的检查）

GB2829—87周期检查计数抽样程序及抽样表（适用于生产过程稳定性的检查）

GB6378—86不合格品率的计量抽样检查程序及图表

GB8051—87计数序贯抽样检查及表

GB8052—87单水平和多水平计数连续抽样检查程序及表

GB8053—87不合格品率计量标准型一次抽样检查程序及表

GB8054—87平均值计量标准型一次抽样检查程序及表

GB/T13262—91不合格品率的计数标准型一次抽样检查程序及抽样表

GB/T13263—91跳批计数抽样检查程序

GB/T13264—91不合格品率的小批计数抽样检查程序及抽样表

GB/T13546—92挑选型计数抽样检查程序及抽样表

GB/T13732—92粒度均匀散料抽样检验通则

GB/T14162—93产品质量监督计数抽样程序及抽样表（适用于每百单位产品不合格数为质量指标）

GB/T14437—93产品质量计数一次监督抽样检验程序（适用于总体量较大的情形）

GB/T14900—94产品质量平均值的计量一次监督抽样检验程序及抽样表

GB/T15239—94孤立批计数抽样检验程序及抽样表

GB/T15482—1995产品质量监督小总体计数一次抽样检验程序及抽样表

GB/T13393—92抽样检查导则

GB10111—88利用随机数骰子进行随机抽样的方法

GB/T15500—1995利用电子随机数抽样品进行随机抽样的方法