优化理论及应用精解【4】

内积与范数

实数绝对值

绝对值是实数的一个重要属性，它表示一个数到0的距离。以下是关于实数绝对值的一些基本计算、性质、相关定理和公式的总结。

一、绝对值的定义

对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：

$|x|=\{\begin{array}{l}x,x\ge 0\\ -x,x<0\end{array}$

二、绝对值的基本性质

1. 非负性：对于任意实数$x$，都有$|x|\ge 0$。
2. 正数的绝对值：如果$x>0$，则$|x|=x$。
3. 负数的绝对值：如果$x<0$，则$|x|=-x$。
4. 零的绝对值：$|0|=0$。
5. 乘法性质：对于任意实数$x$和$y$，有$|xy|=|x||y|$。
6. 除法性质（$y\ne 0$）：$|\frac{x}{y}|=\frac{|x|}{|y|}$。
7. 三角不等式（或称为绝对值的加和性质）：对于任意实数$x$和$y$，有$|x+y|\le |x|+|y|$。
8. 绝对值的幂：对于任意实数$x$和正整数$n$，有$|x^n|=|x{|}^n$。

三、相关定理和公式

1. 绝对值的平方：对于任意实数$x$，有$|x{|}^2=x^2$。
2. 绝对值与距离：绝对值可以用来表示数轴上两点间的距离。例如，数轴上点$a$和点$b$之间的距离可以表示为$|a-b|$。
3. 绝对值函数的连续性：绝对值函数是连续的，即当$x$趋近于某个值时，$|x|$也趋近于该值的绝对值。
4. 绝对值与不等式：在解决不等式问题时，绝对值往往能发挥重要作用。例如，解不等式$|x-a|<b$（$b>0$）可以得到$a-b<x<a+b$。
5. 绝对值与分段函数：绝对值函数可以看作是一种特殊的分段函数，这种性质使得它在处理某些问题时具有独特的优势。
6. $-|a|\le a\le |a|$
7. $||a|-|b|\le |a-b|\le |a|+|b|$
8. $|a|\le c,|b|\le d=>|a+b|\le c+d$
9. $|a|<b=>-b<a<b$

四、计算示例

1. 基本计算：

   • $|3|=3$
   • $|-5|=5$
   • $|0|=0$
   • $|3.14|=3.14$
   • $|-3.14|=3.14$

2. 复杂表达式：

   • $|x-2|+|x+2|$：这个表达式可以根据$x$的取值范围进行分段讨论。
     • 当$x\le -2$时，$|x-2|+|x+2|=-(x-2)-(x+2)=-2x$
     • 当$-2<x<2$时，$|x-2|+|x+2|=-(x-2)+(x+2)=4$
     • 当$x\ge 2$时，$|x-2|+|x+2|=(x-2)+(x+2)=2x$

3. 解不等式：

   • 解不等式$|x-1|\le 3$：
     • 转化为$-3\le x-1\le 3$
     • 解得$-2\le x\le 4$

通过以上总结，我们可以更全面地理解实数的绝对值及其相关性质、定理和公式。在实际应用中，这些知识点能够帮助我们更好地解决问题。

欧式内积

欧式内积（Euclidean inner product），也称为点积（dot product），是向量空间中最常用的内积之一，特别是在二维和三维空间中。以下是欧式内积的计算方法、性质、相关定理和公式。

一、欧式内积的计算

对于两个n维向量$\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$和$\mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$，它们的欧式内积定义为：

$<a,b>=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n=a^{T}b$

二、欧式内积的性质

欧式内积，通常也被称为点积或标量积，是线性代数和几何学中的一个基本概念。在${\mathbb{R}}^n$（n维实数空间）中，两个向量$\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$和$\mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$的欧式内积定义为：

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

欧式内积具有以下几个重要性质：

1. 交换律：
   $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
   即内积的运算顺序不影响结果。

2. 分配律：
   $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$
   即内积对加法有分配性。
   欧式内积的可加性是其重要性质之一，它指的是内积运算对于向量加法的分配律。具体来说，对于任意三个向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$和$\mathbf{c}$，在欧式空间${\mathbb{R}}^n$中，它们的内积满足以下关系：

$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$

这个性质可以通过欧式内积的定义直接证明。设$\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$，$\mathbf{b}=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$，$\mathbf{c}=(c_1,c_2,\dots ,c_n)$，则

$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})={\sum }_{i=1}^n{a}_i(b_i+c_i)$

由于实数的加法和乘法满足分配律，我们可以将上式拆分为两部分：

$={\sum }_{i=1}^n{a}_i{b}_i+{\sum }_{i=1}^n{a}_i{c}_i$

这正好等于$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$。

欧式内积的可加性使得我们可以方便地对向量进行线性组合，并计算这些组合的内积，而不需要先计算组合后的向量本身。这在许多数学和物理应用中都是非常有用的，比如计算力系的总功、电磁场的总能量等。

3. 齐次性（数乘性质）：
   $k(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})=(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot (k\mathbf{b})$
   其中$k$是任意实数。即内积对数乘有齐次性。

4. 非负性：
   $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}\ge 0$
   即任意向量与自身的内积总是非负的。特别地，当且仅当$\mathbf{a}=0$（零向量）时，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=0$。

5. 正交性：
   如果$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，则称向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是正交的。这意味着两个向量在几何上是垂直的。

6. 几何意义：
   在几何上，两个向量的内积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量上的投影的乘积。这提供了内积在几何直观上的解释。

欧式内积的这些性质使得它在许多数学和物理应用中都非常有用。例如，在力学中，力向量和位移向量的内积等于功；在电磁学中，电场向量和电流密度向量的内积与功率密度相关。此外，内积还是定义向量空间中的角度、距离和正交性等概念的基础。

三、相关定理和公式

1. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：
   对于任意两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，有
   $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le ||\mathbf{a}||\cdot ||\mathbf{b}||$
   其中$||\mathbf{a}||=\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}$是向量$\mathbf{a}$的模长。

2. 向量的夹角：
   两个非零向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的夹角$\theta$可以通过它们的内积和模长来计算：
   $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{||\mathbf{a}||\cdot ||\mathbf{b}||}$

3. 投影：
   向量$\mathbf{a}$在向量$\mathbf{b}$上的投影长度为
   $\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{||\mathbf{b}||}$

4. 格拉姆-施密特正交化（Gram-Schmidt Process）：
   这是一个将一组线性无关的向量正交化的过程，用于构造正交基或正交规范基。

5. 矩阵表示：
   如果$\mathbf{A}$是一个$m\times n$的矩阵，$\mathbf{x}$是一个$n\times 1$的列向量，$\mathbf{y}$是一个$m\times 1$的列向量，则矩阵$\mathbf{A}$和向量$\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$的内积（如果定义合理）可以表示为：
   ${\mathbf{x}}^T{\mathbf{A}}^T\mathbf{y}$
   其中${\mathbf{x}}^T$和${\mathbf{A}}^T$分别表示$\mathbf{x}$和$\mathbf{A}$的转置。但在大多数情况下，我们直接处理向量之间的内积，而不是通过矩阵来表示。

四、柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式是数学中的一个重要不等式，它给出了两个向量内积的绝对值与它们模（长度）乘积之间的关系。以下是柯西-施瓦茨不等式的定义、应用、例子和例题。

定义

对于任意两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$在欧式空间${\mathbb{R}}^n$中，柯西-施瓦茨不等式表述为：

$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le ||\mathbf{a}||\cdot ||\mathbf{b}||$

其中，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$表示向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的内积，$||\mathbf{a}||$和$||\mathbf{b}||$分别表示向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的模（即长度），定义为$||\mathbf{a}||=\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}$和$||\mathbf{b}||=\sqrt{\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}}$。

当对于某个$\alpha \in R$有$a=\alpha b$时，该不等式的等号成立。

应用

柯西-施瓦茨不等式在许多数学和物理领域都有广泛应用，包括：

1. 证明其他不等式：柯西-施瓦茨不等式可以作为证明其他不等式的基础。
2. 估计误差：在数值分析和逼近理论中，柯西-施瓦茨不等式可以用于估计逼近的误差。
3. 优化问题：在优化问题中，柯西-施瓦茨不等式可以用于推导最优解的条件。
4. 物理应用：在物理学中，柯西-施瓦茨不等式可以用于推导物理量的界限，如能量、动量等。

例子

考虑两个二维向量$\mathbf{a}=(1,2)$和$\mathbf{b}=(3,4)$。计算它们的内积和模：

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\times 3+2\times 4=11$

$||\mathbf{a}||=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$

$||\mathbf{b}||=\sqrt{3^2+4^2}=5$

然后应用柯西-施瓦茨不等式：

$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=11\le ||\mathbf{a}||\cdot ||\mathbf{b}||=\sqrt{5}\times 5=5\sqrt{5}$

在这个例子中，柯西-施瓦茨不等式是成立的，因为$11\le 5\sqrt{5}$（实际上，$11<5\sqrt{5}\approx 11.18$）。

例题

例题1：证明对于任意实数$x_1,x_2,\dots ,x_n$和$y_1,y_2,\dots ,y_n$，都有

${\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\right)\left({\sum }_{i=1}^n{y}_i^2\right)$

证明：设$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$和$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$，则根据柯西-施瓦茨不等式，有

$|\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}|\le ||\mathbf{x}||\cdot ||\mathbf{y}||$

即

$\left|{\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i\right|\le \sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2}$

两边平方，得到

${\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\right)\left({\sum }_{i=1}^n{y}_i^2\right)$

例题2：设$f(x)$和$g(x)$是区间$[a,b]$上的连续实函数，证明

${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le \left({\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx\right)\left({\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx\right)$

证明：设向量$\mathbf{f}=(f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n))$和$\mathbf{g}=(g(x_1),g(x_2),\dots ,g(x_n))$，其中$x_1,x_2,\dots ,x_n$是区间$[a,b]$上的分割点（可以取为等距分割或任意分割）。当分割足够细密时，这些向量可以近似表示函数$f(x)$和$g(x)$在区间$[a,b]$上的值。

根据柯西-施瓦茨不等式（在离散形式下），有

${\left({\sum }_{i=1}^{n}f(x_i)g(x_i)\Delta x_i\right)}^2\le \left({\sum }_{i=1}^{n}f(x_i{)}^2\Delta x_i\right)\left({\sum }_{i=1}^{n}g(x_i{)}^2\Delta x_i\right)$

其中$\Delta x_i=x_{i+1}-x_i$是分割区间的宽度。当分割点无限增多且$\Delta x_i\to 0$时，上式趋近于

${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx\right)}^2\le \left({\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx\right)\left({\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx\right)$

这就证明了原不等式。注意，这里的证明是启发式的，严格的证明需要用到黎曼和与积分的定义。

五、总结

欧式内积是向量空间中一种重要的运算，它具有许多优良的性质和定理。通过欧式内积，我们可以计算向量的模长、夹角、投影等，还可以进行正交化和构造正交基。在应用中，欧式内积广泛用于几何、物理、工程等领域。

参考文献

1.《最优化导论》
2.文心一言，chatgpt