2024年高教社杯数学建模国赛赛题浅析——助攻快速选题

一图流——一张图读懂国赛

总体概述：

A题偏几何与运动学模型，适合有几何与物理背景的队伍，数据处理复杂性中等。

B题侧重统计和优化，适合有运筹学和经济学背景的队伍，数据处理较为直接但涉及多步骤的决策优化。

C题属于优化类问题，涉及复杂的多变量优化与不确定性分析，数据处理难度大。

D题涉及概率和优化，特别是几何概率模型的推导，理论难度较高。

E题数据量较大，重点在于大规模交通数据的分析与优化，适合擅长交通工程和数据分析的队伍。

难度评估 A:B:C= 1.8:1.3:1

          D:E=1.5:1

选题人数 A:B:C= 1:1.5:2.8

          D:E=0.5:1.2

A题：“板凳龙”闹元宵

问题背景：这个题目基于“板凳龙”的传统民俗活动，要求模拟和优化舞龙队的行进过程，特别是在盘龙时的路径和速度控制。关键挑战是如何在规定的空间内，通过数学建模准确地描述各个龙节的位置和速度。

关键问题：

1. 建立各个龙节的运动模型，基于螺线方程描述其轨迹。

2. 优化路径，以确保各节之间不会发生碰撞。

3. 模拟调头过程，确保龙头和龙尾的协调动作，并优化调头曲线以减少长度。

4. 控制速度，确保舞龙过程中速度不会超出限制。

建模思路：

    使用参数化的螺线方程描述舞龙的行进轨迹。

    基于长度、螺距等约束条件，计算每个龙节的实时位置和速度。

    通过曲率和速度的优化，保证不发生碰撞且速度平稳。

B题：生产过程中的决策问题

问题背景：该题目涉及企业生产管理，尤其是如何在产品零部件采购和生产的各个环节中做出最佳决策。重点是如何通过检测和拆解策略最小化成本，同时控制产品次品率。

关键问题：

1. 设计合理的抽样检测方案，帮助企业判断零部件的次品率是否超过标称值。

2. 在生产过程中决定是否对零部件和成品进行检测，以及是否拆解不合格品。

3. 综合考虑多个工序和零部件的情况，给出最优生产决策。

建模思路：

    利用统计学中的抽样检验理论，设计低成本的抽样方案。

    建立一个成本收益模型，综合考虑零件的次品率、检测成本、拆解费用和市场售价。

    对于多工序生产，使用动态规划或线性规划等方法，优化整个生产流程的决策。

C题：农作物的种植策略

问题背景：该题目围绕乡村农作物的种植优化，目标是利用有限的耕地资源，在多种农作物之间制定最优的种植策略，从而提高收益并降低风险。

关键问题：

1. 基于农作物的销售量、种植成本和产量，制定最优的种植计划。

2. 在考虑农作物市场波动和气候变化的情况下，优化未来数年的种植策略。

3. 考虑不同农作物之间的互补性和替代性，进一步优化种植策略。

建模思路：

    通过线性规划、整数规划等优化模型，确定在不同地块上的农作物种植面积。

    将农作物的销售价格、成本和产量的不确定性引入模型，采用蒙特卡罗模拟或随机规划来进行风险分析。

    利用协整分析或相关性分析，处理不同农作物之间的相互关系。

D题：反潜航空深弹命中概率问题

问题背景：该题目涉及反潜战术中的深弹投射，重点是通过数学模型来计算深弹命中潜艇的概率。

关键问题：

1. 分析投弹落点、深度引爆设置与命中概率之间的关系，并给出最大化命中概率的投弹方案。

2. 在考虑多重不确定因素的情况下，设计最优的投弹深度和阵列布局，以最大化命中概率。

建模思路：

    结合随机变量的分布（如正态分布）来分析潜艇位置的误差。

    利用几何概率计算深弹落点与潜艇的关系，推导命中概率的表达式。

    在多弹投射时，使用阵列优化算法来设计落点分布，并最大化投弹的整体命中概率。

E题：交通流量管控

问题背景：该题目关注小镇道路上的交通流量优化，特别是在黄金周期间处理旅游车流的问题。核心是通过分析车流数据，优化信号灯配置和停车位管理。

关键问题：

1. 根据车流数据，分析不同时段的交通流量，并对信号灯进行优化配置。

2. 在假期期间，识别寻找停车位的巡游车辆，并估算临时停车位的需求。

3. 评估临时交通管控措施的有效性。

建模思路：

    使用时间序列分析方法，分析车流量的变化，找出各时段的高峰期并进行合理分段。

    基于排队论或交通仿真模型，对信号灯进行优化，提升车流效率。

    通过聚类分析或轨迹识别算法，识别巡游车辆，并基于停车需求的预测模型，估算临时停车位的需求。