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【数据结构】排序算法系列——希尔排序（附源码+图解）

article 2024/9/22 6:38:26

希尔排序

算法思想

希尔排序（Shell Sort）是一种改进的插入排序算法，希尔排序的创造者Donald Shell想出了这个极具创造力的改进。其时间复杂度取决于步长序列（gap）的选择。我们在插入排序中，会发现是对整体数据直接进行了统一的插入排序，每个数据之间的间隙是1，这里的1指的就是步长序列gap。在希尔排序中，我们会将整体数据一分为多份，进行散布式的插入排序，这时候每一个子序列之间的间隙就是gap——那么事实上我们也可以将插入排序就看成是gap=1的希尔排序。

我们来具体分析希尔排序的算法步骤：

将待排序序列分为若干个序列，每个序列的间距n（gap）需要相同
将这些子序列分别进行插入排序
不断减小这个间距

那么我们减小这个间距的目的是什么呢？

当gap > 1时我们可以称为预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap = 1时，数组已经接近有序的了，就整体而言，最后一次整体的插入排序就可以大大提高效率——我们从插入排序的时间复杂度分析也可以看出，越接近有序，插入排序的效率就越高，从而可以达到优化的效果。

图解

图片来源于网络

可以看到每次减小gap的规律是将原先的gap/2，但事实上这只是其中一种处理方法，并不说明这是最优解。

C语言代码分析

//与插入排序类似，只是插入排序的间隔是1，而希尔排序的间隔是gap

//第一种思想：依次排序
//排完一组后，再排下一组
void ShellSort1(int arr[], int n)
{
	int gap = 3;//任意一个想要的间隔
	for (int j; j < gap; j++)
	{
		for (int i = gap; i < n; i += gap)
		{

			int end = i - gap;
			int tmp = arr[end + gap];
			while (end >= 0)
			{
				if (tmp >= arr[end])
				{
					arr[end + gap] = tmp;
					end -= gap;
				}
				else
				{
					break;
				}
			}
			arr[end + gap] = tmp;
		}
	}


}

//第二种思想：多组并排
void ShellSort2(int arr[], int n)
{
	int gap = 3;//任意一个想要的间隔
	
		for (int i = gap; i < n-gap; i ++)
		{

			int end = i;
			int tmp = arr[i + gap];
			while (end >= 0)
			{
				if (tmp >= arr[end])
				{
					arr[end + gap] = tmp;
					end -= gap;
				}
				else
				{
					break;
				}
			}
			arr[end + gap] = tmp;
		}
}

//gap越大，跳得越快，但一次排下来最无序
//gap越小，跳得越慢，但一次排下来更有序

注意

希尔排序实际上是个相当复杂的排序算法，这主要是跟它的步长序列gap到底该如何取、后续应该减小有关。这其中涉及到很多的数学分析以及数学公式，我们可以参考严蔚敏老师的解读：

在这里插入图片描述

以及殷人昆老师：

在这里插入图片描述

所以，本篇文章仅对其基本的算法思想和代码编写进行解析，如有兴趣深究希尔排序，各位读者们可以自行上网搜索有关知识~

时间复杂度

一般情况下，希尔排序的时间复杂度可以表示为：

最好情况（已排序的情况）：O(n log n)
平均情况：取决于步长序列的选择，通常为**O(n^1.3)-O(n²)**之间。
最坏情况：O(n²)

希尔排序通过逐步减少步长来实现排序，初始的大步长使得数组元素可以较快地达到部分有序状态，最终通过小步长的插入排序完成排序。所以时间复杂度的具体分析也就取决于步长序列。

这里针对平均情况，我们进行一下简单的具体分析：

希尔排序的平均情况时间复杂度是比较复杂的。在实际应用中，常见的步长序列如希尔建议的序列（1, 3, 7, …, 2^k-1）或者Hibbard序列（1, 3, 7, 15, …, 2^k-1）等，它们的时间复杂度通常就在**O(n^1.3)-O(n²)**之间，这是经过数学算出来的结果。这些序列被设计为逐渐减小，从而在较早阶段快速减少逆序对的数量，然后在最后阶段完成排序。

总体来说，希尔排序的性能高度依赖于步长序列的选择。良好的步长序列可以显著改善排序的效率，使得平均情况下的时间复杂度能够在O(n^1.3)左右，而不好的选择则可能导致接近最坏情况的性能。