【数据结构】排序算法系列——希尔排序（附源码+图解）
希尔排序
算法思想
希尔排序（Shell Sort）是一种改进的插入排序算法，希尔排序的创造者Donald Shell想出了这个极具创造力的改进。其时间复杂度取决于步长序列（gap）的选择。我们在插入排序中，会发现是对整体数据直接进行了统一的插入排序，每个数据之间的间隙是1，这里的1指的就是步长序列gap。在希尔排序中，我们会将整体数据一分为多份，进行散布式的插入排序，这时候每一个子序列之间的间隙就是gap——那么事实上我们也可以将插入排序就看成是gap=1的希尔排序。
我们来具体分析希尔排序的算法步骤：
- 将待排序序列分为若干个序列，每个序列的间距n（gap）需要相同
- 将这些子序列分别进行插入排序
- 不断减小这个间距
那么我们减小这个间距的目的是什么呢？
当gap > 1时我们可以称为预排序，目的是让数组更接近于有序。当gap = 1时，数组已经接近有序的了，就整体而言，最后一次整体的插入排序就可以大大提高效率——我们从插入排序的时间复杂度分析也可以看出，越接近有序，插入排序的效率就越高，从而可以达到优化的效果。
图解
可以看到每次减小gap的规律是将原先的gap/2，但事实上这只是其中一种处理方法，并不说明这是最优解。
C语言代码分析
//与插入排序类似，只是插入排序的间隔是1，而希尔排序的间隔是gap
//第一种思想：依次排序
//排完一组后，再排下一组
void ShellSort1(int arr[], int n)
{
int gap = 3;//任意一个想要的间隔
for (int j; j < gap; j++)
{
for (int i = gap; i < n; i += gap)
{
int end = i - gap;
int tmp = arr[end + gap];
while (end >= 0)
{
if (tmp >= arr[end])
{
arr[end + gap] = tmp;
end -= gap;
}
else
{
break;
}
}
arr[end + gap] = tmp;
}
}
}
//第二种思想：多组并排
void ShellSort2(int arr[], int n)
{
int gap = 3;//任意一个想要的间隔
for (int i = gap; i < n-gap; i ++)
{
int end = i;
int tmp = arr[i + gap];
while (end >= 0)
{
if (tmp >= arr[end])
{
arr[end + gap] = tmp;
end -= gap;
}
else
{
break;
}
}
arr[end + gap] = tmp;
}
}
//gap越大，跳得越快，但一次排下来最无序
//gap越小，跳得越慢，但一次排下来更有序
注意
希尔排序实际上是个相当复杂的排序算法，这主要是跟它的步长序列gap到底该如何取、后续应该减小有关。这其中涉及到很多的数学分析以及数学公式，我们可以参考严蔚敏老师的解读：
以及殷人昆老师：
所以，本篇文章仅对其基本的算法思想和代码编写进行解析，如有兴趣深究希尔排序，各位读者们可以自行上网搜索有关知识~
时间复杂度
一般情况下，希尔排序的时间复杂度可以表示为：
- 最好情况（已排序的情况）：O(n log n)
- 平均情况：取决于步长序列的选择，通常为**O(n1.3)-O(n2)**之间。
- 最坏情况：O(n2)
希尔排序通过逐步减少步长来实现排序，初始的大步长使得数组元素可以较快地达到部分有序状态，最终通过小步长的插入排序完成排序。所以时间复杂度的具体分析也就取决于步长序列。
这里针对平均情况，我们进行一下简单的具体分析：
希尔排序的平均情况时间复杂度是比较复杂的。在实际应用中，常见的步长序列如希尔建议的序列（1, 3, 7, …, 2^k-1）或者Hibbard序列（1, 3, 7, 15, …, 2k-1）等，它们的时间复杂度通常就在**O(n1.3)-O(n2)**之间，这是经过数学算出来的结果。这些序列被设计为逐渐减小，从而在较早阶段快速减少逆序对的数量，然后在最后阶段完成排序。
总体来说，希尔排序的性能高度依赖于步长序列的选择。良好的步长序列可以显著改善排序的效率，使得平均情况下的时间复杂度能够在O(n^1.3)左右，而不好的选择则可能导致接近最坏情况的性能。
稳定性
鉴于希尔排序会改变前后元素的相对位置，所以：不稳定