2024年全国大学生数学建模A题借鉴论文

问题  1： 舞龙队的动态位置与速度计算

1. **螺旋线的几何建模**：根据题目描述，舞龙队沿着等距螺旋线前进。螺旋线的螺距为 55 cm， 需根据极坐标公式确定每节板凳的位置。

-  极坐标螺旋线方程：\( r = a + b\theta \)， 其中  \( b \)  是螺距， 可以利用该方程计算 每秒舞龙队的各个节数的坐标。

2. **速度计算**：给定龙头的行进速度为 1 m/s ，结合各节板凳间的相对位置， 可以根据链 式法则求出龙身和龙尾各节板凳的速度。

3. **编程实现**：使用编程工具（如 Python 、Matlab）来模拟整个舞龙队的运动过程，并输 出每秒的位置信息到 Excel 文件中。

###  问题  2：确定舞龙队盘入的终止时刻

1. **碰撞判断**：在舞龙队盘入过程中，需要避免板凳间的碰撞 。建立相邻两节板凳之间的 最短距离模型， 一旦两节板凳的距离小于允许值（可以是板凳长度或根据实际情况设置），  即认为发生碰撞。

2. **迭代计算**：通过编写算法，在每秒钟更新板凳的位置和速度， 并实时检测碰撞情况， 一旦发现碰撞则终止盘入过程， 并记录当时的位置信息和速度。

###  问题  3：调头空间的计算

1. **调头空间定义**：题目给出了调头空间为直径 9 米的圆形区域 。需计算龙头沿螺旋线盘 入至调头空间边界的最小螺距。

2. **螺旋线与圆的相交条件**：将螺旋线的方程与圆的方程联立，解出相交点，并以此确定 最小螺距。

###  问题  4：调头路径优化

1. **S 形曲线的构造**：根据题目要求，调头路径由两段圆弧相切构成， 需通过优化两段圆 弧的半径和切点位置，尽量缩短调头曲线的长度。

2. **相切条件**：保证调头曲线与螺旋线相切， 同时调头路径在空间内平滑连接。 ###  问题  5：确定龙头的最大速度

1. **速度约束**：给定各把手的最大速度不超过 2 m/s ， 需通过链式法则计算龙头的最大速 度。由于舞龙队不同位置的板凳速度不同，需要动态调整龙头速度以保证龙身和龙尾的速度 不会超过限制。

2. **速度计算方法**：通过微分方程或数值方法，动态求解在不同时刻各个节的速度，直到 找到最大行进速度。

综上所述，问题的核心是基于螺旋线轨迹的几何建模和动态模拟，结合碰撞检测和速度优化， 最终通过编程实现精确的结果输出。

问题一的目标是根据螺旋线轨迹计算舞龙队每秒的具体位置和速度。这个问题涉及到几何建 模和运动学模拟， 详细思路和建模过程可以分为以下几个步骤：

1.  建立螺旋线模型

舞龙队沿着螺旋线盘入，题目中提到螺距为 55 cm， 龙头的行进速度为 1 m/s 。 首先， 需要 明确螺旋线的参数方程。

螺旋线方程：在极坐标下，螺旋线的方程为： 

    a  I  bo

其中， r (0) 表示半径，   为极角， a 是初始半径， b 是螺距，题目给出螺距b    55 cm 。

平面直角坐标系下的螺旋线 ：螺旋线在直角坐标系下的参数方程为：

z (0)    r (0) · Cos(8) y(0)    r (0) · sin(8) r (0)     a  I  b

2.  龙头的运动建模

龙头的速度始终为 1 m/s ，意味着它在螺旋线上的位移速度恒定 。 因此可以通过以下方式确 定龙头每秒钟的位置：

角速度的计算 ：因为龙头沿螺旋线以恒定速度前进，我们需要计算它的角速度

 。龙头在时 间 t  的位移s (t) 为：

S (t)     U · t     1 m/s · t

每段时间dt 中 ， 龙头在螺旋线上行进的弧长ds 可表示为：

将螺旋线的参数方程代入，得：

解出关于。的关系式，利用数值方法求解o(t) ，从而得出每秒钟龙头的具体位置。

3.  龙身与龙尾的运动模拟

龙身和龙尾紧跟龙头，但由于各节板凳之间有长度约束，因此需通过传递的方式计算龙身和 龙尾各节板凳的位置和速度。

相邻板凳的约束 ：题目给出每节板凳的长度， 龙头板凳长度为 341 cm， 龙身和龙尾的板凳 长度为 220 cm 。假设相邻板凳通过把手相连， 则可以根据几何关系，确保每节板凳的位移 与相邻节板凳之间的约束一致。

设第  n  节板凳的前把手位置为(rn , yn ) ，则第n  I  1 节板凳的前把手应满足：

通过递推关系，结合初始条件（龙头的初始位置和速度）， 可以依次计算出每节板凳的位置。

4.  速度的计算

每节板凳的速度可以通过其位置的变化率来计算。 速度公式 ：第  n  节板凳的速度为：

在数值求解时，可以通过龙头的速度和每节板凳相对于龙头的位置来迭代求解所有板凳的 速度。

### 5.  输出结果

- **位置信息输出**： 通过上述步骤， 可以在每秒时刻计算出龙头 、 龙身和龙尾每节板凳的 位置，将其以表格形式存入  `result1.xlsx`  文件中。

- **速度信息输出**： 类似地， 可以在每秒时刻计算出每节板凳的速度， 并输出到同一文件 中。

此外，在论文中需要展示特定时刻（ 0 秒 、60 秒 、 120 秒 、 180 秒 、240 秒 、300 秒） 龙头 和部分龙身板凳的位置和速度，这些特定值可以从计算的结果中提取出来。

问题二的目标是确定舞龙队盘入螺旋线的终止时刻，即当板凳之间发生碰撞或即将发生碰撞 时，停止盘入并给出此时舞龙队的位置和速度。这涉及到舞龙队的运动模拟、碰撞检测以及 时间点的确定 。具体解题思路和建模过程如下：

1.  运动模型的延续

问题二的舞龙队沿着问题一中的螺旋线继续盘入，螺旋线的模型保持不变： 螺旋线参数方程

平面直角坐标系下的方程：

舞龙队的各节板凳仍然保持与龙头相连的状态，并依次沿螺旋线运动，龙头的速度保持 1 m/s。

2.  碰撞检测建模

为了确定盘入的终止时刻，需要考虑板凳之间的碰撞问题。每节板凳的长度是固定的，因此 我们需要检测相邻板凳之间的距离， 防止它们互相重叠或接近过近。

2.1  碰撞判定条件

板凳之间的距离约束： 舞龙队的每节板凳都有固定的长度（龙头为 341 cm， 龙身和龙尾为 220 cm），相邻两节板凳通过把手相连 。如果任意两节板凳的实际距离小于其物理长度，就 会发生碰撞。

检测标准 ：对于第 \(i\)  节和第  \(j\)  节板凳，检测它们前把手的距离是否小于板凳长度： 距离    

(zi     zj)2

 (yi    yj)2    如果距离 

 板凳长度 ，则发生碰撞。

最小安全距离： 为避免误差累积和碰撞过于紧迫， 可以设置一个“最小安全距离”， 当两节板 凳的距离接近此值时，认为即将发生碰撞，提前终止盘入。

2.2  碰撞检测的实现

逐步检测：在模拟舞龙队的运动过程中，每秒计算所有节板凳的位置信息，并实时检测所有 板凳之间的距离。

碰撞停止条件：如果在某一时刻发现两节板凳的距离小于其允许的最小距离，则认为舞龙队 不能继续盘入，记录当前时刻及其位置和速度，作为盘入的终止时刻。

3.  数值模拟过程

为实现这一过程， 需要结合数值模拟方法：

3.1  运动状态的更新

在问题一中已经确定了龙头的位置和速度演变过程，接下来需要通过递推关系更新其他各节 板凳的位置和速度。

初始条件 ：龙头的初始位置和速度确定后，依次通过递推关系计算每节龙身板凳的位置。 每秒更新 ：在每秒的时刻， 重新计算龙头 、龙身和龙尾的每节板凳的位置。

3.2  碰撞检测的实时更新

在每个时间步长（每秒钟）， 计算相邻节板凳的距离， 并判断是否发生碰撞。

动态检测：每秒检查所有相邻板凳的距离。如果发现有两节板凳的前把手距离小于物理长度， 则判定为发生碰撞并停止盘入。

提前终止的判定：为了保证检测的精度，可以在碰撞即将发生时就提前终止，设置一个小的 阈值作为提前停止的标准。

问题三的目标是确定舞龙队在进入直径为 9 米的调头空间时的最小螺距，使得龙头可以沿螺