【C语言】揭开计数制的面纱：深入浅出二进制及二进制计算
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本文前言
在C语言中，我们经常会对内存进行研究，其中不乏包括数据的存储，那最原始的数据还是要到二进制数，这就不得不补充一下我们的基础了，本篇博客主要补充数据存储篇（前篇：链接）中的各种计数制，包括二进制数，八进制数，十六进制数，十进制数，以及他们之间的相互转换，外加二进制数的四则运算。
一、生活中的计数制
在生活中，任何一个数通常都可以用两种不同的方法表示，一种是按“值”表示法，即选定某种进位的计数体制来表示某个数值，这就是计数制，简称数制
1.1 十进制
比如：
如果我们采用十进位计数制（简称：十进制，Decimal），它有10个数码，分别是0~9，当任何一位数比9大的时候，我们就会进位，原本的位就会从0开始计数，也是被称为“逢十进一”，
任何一个十进制数都可以用其幂的形式表示：
我们把这种情况也叫“按权展开”，显然通过这种展开，我们能很快发现一个规律，那就是小数点前的数字，只要按对应的数字*对应的幂就好了，十进位就是*10^（n-1），小数点后是10^(-n),这样全部加在一块，就构成一个十进制数了。
任何一个十进制数都可以表示成以下形式：
只不过我们一般写成右下角为D的形式：
其中，n,m为正整数，Ki为系数，是十进制10个数码中的某一个，10是进位基数，10^i是位权，所以我们通常计算的时候是按权展开
1.2 二进制
如果我们采用二进位计数制（简称：二进制，binary），它有2个数码，分别是0，1，当任何一位数比1大的时候，我们就会进位，原本的位就会从0开始计数，也是被称为“逢二进一”，
在计算机存储中，我们通常采用二进制，一个字节有八个比特位，也就是八个二进制位，每一位存放一个二进制数，用0，1表示
二进制存储表示：
每一个二进制数都可以按权展开转换成十进制数：
我们通常也写成B在右下角
式中，Ki为系数;2为进位基数;2^i是二进制数的位权，二进制数不同位数的位权分别为2^(n-1)，……，2^0，……2^-10”。任意1个二进制数按位权展开，都可转换为十进制数这种转换方法称为多项式替代法
1.3 十六进制
如果我们采用十六进位计数制（简称：十六进制，hexadecimal），它有16个数码，分别是0~9，A~F，当任何一位数比15大的时候，我们就会进位，原本的位就会从0开始计数，也是被称为“逢十六进一”，
任何一个十六进制的数都可以用幂的形式表示：
十六进制和二进制的关系：
由于十六进制是16 = 2 ^ 4 ，所以每一个十六进制数就可以看作四个二进制数，这就是直接转换法。如果有不够四位的，就补0.
二、进制之间的相互转换
我们将通过这些题来了解二进制，十六进制，十进制是如何转换的。
2.1 十进制转换成二进制
29.625 的转换
解析如下：整数部分我们用除法，一直除以2，直到除到0或1为止 ，小数部分我们用乘法，每次乘一个2，取整数部分。
127.0625 的转换
按照同样的方法我们也可以写出127的整数部分，0111 1111，0.0625，小数部分: 0.0625 * 2 = 0.125 取整数部分 0，所以小数部分为: 0
综合起来，127.0625 的二进制数为: 1111111.0
2.2 二进制数转换成十进制数
(1) 101101.11010111
整数部分:
= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45
小数部分:
= 0.5 + 0.25 + 0 + 0.0625 + 0 + 0.015625 + 0.0078125 + 0.00390625= 0.83984375
综合起来，101101.11010111 的十进制数为: 45.83984375
(2)101011.101101
整数部分:
= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43
小数部分:
= 0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625 + 0 + 0.015625 = 0.703125
综合起来，101011.101101 的十进制数为: 43.703125
我们对于二进制转换成十进制数的方法是按权展开
- 将二进制数分成整数部分和小数部分。
- 对于整数部分，从右到左依次乘以 2 的幂次，然后相加得到十进制整数部分。
- 对于小数部分，从左到右依次除以 2 的幂次，然后相加得到十进制小数部分。
- 将整数部分和小数部分相加，得到最终的十进制数。
2.3 二进制转换成十六进制
（1）100110.100111
整数部分:
因为四位二进制可以直接看作一个十六进制数，所以我们可以划分一下，不够的补0.
所以整数部分就可以写成26
小数部分: 1001 = 9，1100 = C
综合起来，100110.100111 的十六进制数为: 26.9C
(2) 101011101.1100111
整数部分: 0001，0101，1101 =1，5，D
小数部分: 1100，1110 = C，E
综合起来，101011101.1100111 的十六进制数为: 15D.CE
二进制和十六进制的转换是可以跳过中间这个十进制的过程的，这样可以简便我们的过程，如果我们在二进制换八进制的情况下，除了借用这个计算器啊以外，我们可以直接转成十进制，然后再转成八进制。
2.4 十六进制转换成二进制
（1） 3AD.6EB
整数部分: 3 = 0011, A = 1010, D = 1101
小数部分: 6 = 0110, E = 1110, B = 1011
综合起来，3AD.6EB 的二进制数为: 0011 1010 1101.0110 1110 1011
（2）6C2B.4A7
整数部分: 6 = 0110, C = 1100, 2 = 0010, B = 1011
小数部分: 4 = 0100, A = 1010, 7 = 0111
综合起来，6C2B.4A7 的二进制数为: 0110 1100 0010 1011.0100 1010 0111
总结：
无论是对于二进制，八进制，十六进制，我们都可以先统一转换成十进制，然后再转换成对应的进制数，除此之外，二进制也可以直接转换成十六进制，或者八进制（3个二进制一组），从效率上来讲，第二种方式快捷的多，好了，本期的进制就到这，我们下期见。
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部分内容参考书ISBN：978-7-111-52647-6