【数学分析笔记】第3章第2节 连续函数（1)

3. 函数极限与连续函数

3.2 连续函数

3.2.1 一点连续

从分析上讲，$f(x)$在$x_0$点连续：当$x\to x_0$，$f(x)\to f(x_0)$
【定义3.2.1】设$f(x)$在$x_0$的某个邻域中有定义，且成立$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$点连续，即$x_0$是$f(x)$的连续点。
符号表述：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x(|x-x_0|<\delta ):|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$（$\forall x(0<|x-x_0|<\delta )$是在$x\ne 0$时候的极限，现在$x=x_0$是可以的，所以写成$\forall x(|x-x_0|<\delta )$）

3.2.2 开区间连续性

开区间情况：
【定义3.2.2】若$f(x)$在$(a,b)$的每一点都连续，则称$f(x)$在开区间$(a,b)$上连续。


【例3.2.1】$f(x)=\frac{1}{x}$，证明$f(x)$在$(0,1)$开区间连续。
【证】设$x_0\in (0,1)$为$(0,1)$当中任意一点，$\forall \epsilon >0$找$\delta >0$
$|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}|=|\frac{x-x_0}{x{x}_0}|$
加上条件，在$x_0$附近的邻域内放缩，$|x-x_0|<\frac{x_0}{2}\Rightarrow x>\frac{x_0}{2}$
所以$|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}|=|\frac{x-x_0}{x{x}_0}|<\frac{|x-x_0|}{\frac{|x_0{|}^2}{2}}=\frac{2|x-x_0|}{|x_0{|}^2}<\epsilon$
即$|x-x_0|<\frac{|x_0{|}^2}{2}\epsilon$，又$|x-x_0|<\frac{x_0}{2}$
所以取 δ = min ⁡ { ∣ x 0 ∣ 2 2 ε , x 0 2 } , ∀ x ( ∣ x − x 0 ∣ < δ ) \delta=\min\{\frac{|x_{0}|^{2}}{2}\varepsilon,\frac{x_{0}}{2}\},\forall x(|x-x_{0}|<\delta) δ=min{2∣x0​∣2​ε,2x0​​},∀x(∣x−x0​∣<δ)
$|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}|<\epsilon$
所以$f(x)$在$(0,1)$开区间连续。

3.2.3 左连续和右连续

【定义3.2.3】若$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$点左连续；若$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$，则称$f(x)$在$x_0$点右连续。

符号表示
左连续：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x(-\delta <x-x_0\le 0):|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$
右连续：$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x(0\le x-x_0<\delta ):|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$

3.2.4 闭区间连续性

【定义3.2.4】$f(x)$在$(a,b)$上连续，且在$a$点右连续，在$b$点左连续，则称$f(x)$在闭区间$(a,b)$上连续。


【例3.2.2】$f(x)=\sqrt{x(1-x)}$，证明$f(x)$在$[0,1]$闭区间上连续。
【证】设$\forall x_0\in (0,1)$，取 η = min ⁡ { x 0 , 1 − x 0 } \eta=\min\{x_{0},1-x_{0}\} η=min{x0​,1−x0​}（该任意点$x_0$到区间两端的距离）
当$|x-x_0|<\eta$
$\forall \epsilon >0,|\sqrt{x(1-x)}-\sqrt{x_0(1-x_0)}|=|\frac{(\sqrt{x(1-x)}-\sqrt{x_0(1-x_0)})(\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{x_0(1-x_0)})}{\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{x_0(1-x_0)}}|=\frac{|x(1-x)-x_0(1-x_0)|}{\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\frac{|x-x^2-x_0+x_0^2|}{\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\frac{|x-x_0+(x_0^2-x^2)|}{\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\frac{|x-x_0+(x_0-x)(x_0+x)|}{\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\frac{|x-x_0-(x-x_0)(x_0+x)|}{\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{x_0(1-x_0)}}=\frac{|1-x-x_0|}{\sqrt{x(1-x)}+\sqrt{x_0(1-x_0)}}|x-x_0|<\frac{1}{\sqrt{x_0(1-x_0)}}|x-x_0|$
取 δ = min ⁡ { η , x 0 ( 1 − x 0 ) ⋅ ε } , ∀ x ( ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : ∣ x ( 1 − x ) − x 0 ( 1 − x 0 ) ∣ < 1 x 0 ( 1 − x 0 ) ∣ x − x 0 ∣ < ε \delta=\min\{\eta,\sqrt{x_{0}(1-x_{0})}\cdot\varepsilon\},\forall x(|x-x_{0}|<\delta):|\sqrt{x(1-x)}-\sqrt{x_{0}(1-x_{0})}|<\frac{1}{\sqrt{x_{0}(1-x_{0})}}|x-x_{0}|<\varepsilon δ=min{η,x0​(1−x0​) ​⋅ε},∀x(∣x−x0​∣<δ):∣x(1−x) ​−x0​(1−x0​) ​∣<x0​(1−x0​) ​1​∣x−x0​∣<ε
所以$f(x)$在$(0,1)$上连续
当$x_0=0$时，现在证明$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x(1-x)}=0$
$\forall \epsilon >0,|\sqrt{x(1-x)}-0|=|\sqrt{x(1-x)}|\le \sqrt{x}<\epsilon (0<x<1)$
取$\delta ={\epsilon }^2,\forall x(0\le x-0=x<\delta ):|\sqrt{x(1-x)}-0|<\epsilon$
所以$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x(1-x)}=0=f(0)$
当$x_0=1$时，现证明$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sqrt{x(1-x)}=0=f(1)$
$\forall \epsilon >0,$
$|\sqrt{x(1-x)}-0|=|\sqrt{x(1-x)}|\le \sqrt{1-x}(0<x<1)$
取$\delta ={\epsilon }^2,\forall x(-\delta <x-1\le 1):|\sqrt{x(1-x)}-0|=|\sqrt{x(1-x)}|\le \sqrt{1-x}<\epsilon$
即$|1-x|=|x-1|<{\epsilon }^2$
故$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x(1-x)}=0=f(0),\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\sqrt{x(1-x)}=0=f(1)$
所以$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续。

3.2.5 函数在区间连续的定义扩充

关于函数$f(x)$定义在某一个区间$X$上（$X$可以是开区间，闭区间，半开半闭区间），若$\forall x_0\in X$与$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in X(|x-x_0|<\delta ):|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$，则称$f(x)$在区间$X$上连续。


【例3.2.3】证明：$f(x)=\sin x$在$(-\infty ,+\infty )$上连续。
【证】$\forall x_0\in (-\infty ,+\infty )$及$\forall \epsilon >0$
$|\sin x-\sin x_0|=|2\cos \frac{x+x_0}{2}\sin \frac{x-x_0}{2}|\le 2|\sin \frac{x-x_0}{2}|\le 2\times |\frac{x-x_0}{2}|=|x-x_0|$
取$\delta =\epsilon ,\forall x(|x-x_0|<\delta )$
则$|\sin x-\sin x_0|=|2\cos \frac{x+x_0}{2}\sin \frac{x-x_0}{2}|\le 2|\sin \frac{x-x_0}{2}|\le 2\times |\frac{x-x_0}{2}|=|x-x_0|<\epsilon$
所以$f(x)=\sin x$在$(-\infty ,+\infty )$上连续。
【注】同理$f(x)=\cos x$在$(-\infty ,+\infty )$上连续