第309题｜证明函数单调有界的核心思路 ｜武忠祥老师每日一题
解题思路：两个极限存在准则：1.夹闭。 2.单调有界。
这里题目告诉了我们f(x)的导数,如果我们判断出了 导数的正负，就能得出f（x）的单调性。
显然是大于0的，看后半部分:
是否大于0，这里直接比较
和
的大小即可；
这里要用到这样一个不等式：
,显然是大于的，大于0；f(x)单调递增。
接着证明f(x)有界，如何通过f'(x)来估f(x)呢，常用的是拉格朗日中值定理，f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)，
显然这么做比较困难，还有另外一种联系f(x)和f'(x)的方式就是：牛顿莱布尼茨公式：
,直接把f'(x)带入进去。
如图所示，经过四次放大：
第一次放大：
<1,,直接忽略不计。
第二次放大：，
得到
这里可以看作是原函数为,利用拉格朗日中值定理，
第三次放大：
因为中值是在t和t+1之间的值，所以可以再次进行放大：
,
第四次放大：
显然 ,这是一个无穷级数的反常积分，也就是p积分，p=3/2>1是收敛的。
f(x)-f(1)不超过这个值，f(1)存在是一个有限的数，单调且有界，极限存在。
知识点：
1.两个极限存在准则：1.夹闭。 2.单调有界。
2.不等式：
3.联系f'(x)和f(x)的两个公式：
拉格朗日中值定理，f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)
牛顿莱布尼茨公式：,
4.无穷级数的反常积分(p积分)：
