数学建模笔记—— 最大最小化规划模型

最大最小化规划模型

1. 模型原理

在博弈论中有一个经典理论一一最大最小策略( Minimax strategy)，是由博弈论奠基人约翰·冯·诺伊曼(John von Neumann)在1928年提出的一种在理性行为基础上做的保守博弈策略：使得博弈者的最小收入最大化的策略。由此衍生出了最大最小算法(Minimax算法)，是一种找出失败的最大可能性中的最小值的算法(即最小化对手的最大得益)。在实际问题中也有许多求最大值的最小化问题， 例如急救中心选址问题就是要规划其到所有地点最大距离的最小值，在投资规划中要确定最大风险的最低限度等，为此，对每个$x\in R^n$,我们先求出目标值$f_i(x)$的最大值，然后再求这些最大值中的最小值。

最大最小化问题的一般数学模型：
$$\begin{array}{rl}& min\left\{max\left[f_1\right(x\left)\right],max\left[f_2\right(x\left)\right],\dots ,max\left[f_m\right(x\left)\right]\right\}\\ & s.t.\{\begin{array}{l}Ax\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ C\left(x\right)\le 0\\ Ceq\left(x\right)=0\\ VLB\le X\le VUB\end{array}\end{array}$$

2. 典型例题

选址问题：

设某城市有某种物品的10个需求点，第$i$个需求点$P_I$的坐标($a_i,b_i$),道路网与坐标轴平行，彼此正交，现打算建一个该物品的供应中心，且由于受到城市某些条件的限制，该供应中心只能设在$x$界于[3,8], $y$界于[4,10]的范围之内，问该中心应建在何处为好？

$a_i$	1	4	3	5	9	12	6	20	17	8
$b_i$	2	10	8	18	1	4	5	10	8	9

设供应中心的位置为(x,y),要求它到最远需求点的距离尽可能小，由于道路网与坐标轴平行，彼此正交，故采用沿道路行走计算距离，可知每个需求点$P_i$到该中心的距离为$|x-a_i|+|y-b_i|$，于是模型为：
$$\begin{array}{rl}& \underset{(x,y)}{\min }\left\{\underset{i}{\max }\left[\left|x-a_i\right|+\left|y-b_i\right|\right]\right\}\\ & s.t.\{\begin{array}{l}3\le x\le 8\\ 4\le y\le 10\end{array}\end{array}$$

3. matlab代码求解

$fminimax$函数：$[x,fval]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,option)$

该函数与非线性规划函数用法基本一致，但注意目标函数需要用函数向量表示

目标函数fun.m定义如下：

function f = fun(x)
    a=[1 4 3 5 9 12 6 20 17 8];
    b=[2 10 8 18 1 4 5 10 8 9];
    % 函数向量
    f=zeros(10,1);
    for i=1:10
        f(i)=abs(x(1)-a(i))+abs(x(2)-b(i));
    end
end

主代码如下：

clc;
clear;
x0=[6,6]; % 给定初始值
lb=[3,4]; % 决策变量的下界
ub=[8,10]; % 决策变量的上界
[x,feval]=fminimax(@fun,x0,[],[],[],[],lb,ub)
max(feval)

输出：

可能存在局部最小值。满足约束。

fminimax 已停止，因为当前搜索方向的大小小于
步长容差值的两倍，并且在约束容差值范围内满足约束。

<停止条件详细信息>

x =

                         8          8.50000000605316


feval =

          13.5000000060532
          5.49999999394684
          5.50000000605316
          12.4999999939468
          8.50000000605316
          8.50000000605316
          5.50000000605316
          13.4999999939468
          9.50000000605316
          0.49999999394684


ans =

          13.5000000060532