向量——通俗地解释

1. 向量

  向量是一个既有大小(模)又有方向的对象，它可以用来描述空间中的位置、力或速度等量。我们可以从物理、数学和计算机的角度来看待向量，这三种观点看似不同却有关联。
（1）在物理专业视角下，向量是空间中的箭头，决定一个向量的是它的长度(大小)和它所指的方向。处在平面中的向量是二维的，而处在我们所生活的空间中的向量是三维的。
（2）在计算机专业视角下，向量是有序的数字列表，例如二维向量 $\mathbf{x}=[1,2]$。
（3）在数学专业视角下，向量可以是任何东西，只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义的即可。向量加法与向量数乘贯穿线性代数始终，二者起着很重要的作用。

2. 向量是有序的数字列表

（1）在二维空间中(X-Y平面)，我们通常以原点（也就是坐标(0,0)）作为起点，一个向量的坐标由"两个数"组成。而这"两个数"表示：如何从原点(向量起点)出发到达它的尖端(向量终点)。例如，二维向量 $\mathbf{x}=[2,4]$，向量通常使用方括号([])括起来。对于二维向量 $\mathbf{x}=[x_0,y_0]$，第一个数 $x_0$ 表示向量沿着 $X$ 轴能走多远；第二个数 $y_0$ 表示向量沿着 $Y$ 轴能走多远。数 $x_0$ 和 $y_0$的正负表示向量移动的方向，“正数” 表示向着"X-Y"的正半轴移动，“负数"表示向着"X-Y"的负半轴移动。每"一对数"给出唯一的一个二维向量，而每一个二维向量恰好对应唯一的"一对数”。

（2）在三维空间中(X-Y-Z)中，我们通常也以原点（也就是坐标(0,0,0)）作为起点，每个向量由一对三元组构成，例如三维向量 $\mathbf{x}=[2,4,6]$。对于三维向量 $\mathbf{x}=[x_0,y_0,z_0]$，第一个数 $x_0$ 表示向量沿着 $X$ 轴能走多远；第二个数 $y_0$ 表示向量沿着 $Y$ 轴能走多远；第三个数 $z_0$ 表示向量沿着 $Z$ 轴能走多远。每个"三元组"给出唯一的一个三维向量，而每个三维向量恰好对应唯一的"三元组"。

（3）当向量空间的维度超过三维时，我们直观上是想象不到的，但仍然可以使用数字来表示多维向量。例如：四维向量 $\mathbf{x}=[2,4,6,8]$，六维向量 $\mathbf{x}=[2,4,6,8,10,12]$。由此可以得到 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 的表示形式为：$\mathbf{x}=[x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n]$ 。

3. 通俗解释：向量加法与向量数乘

3.1 向量加法

（1）使用二维坐标系(X-Y)来解释向量的加法
  从下图一可以看出：向量 $\mathbf{v}=[1,2]$，向量 $\mathbf{w}=[3,-1]$。

接下来我们对二维向量 $\mathbf{v}$ 和 $\mathbf{w}$ 进行相加。具体而言，相加之后的向量就是从第一个向量出发，指向第二向量的终点，两个向量之和（$\mathbf{v}+\mathbf{w}$）的表示如下图2所示。由下图2可以看出$\mathbf{v}+\mathbf{w}=[4,1]$ ，而向量 $\mathbf{v}$和$\mathbf{w}$按元素累加可得：$[4,1]$，也就是说：向量的加法就是对应坐标位置的元素进行累加。

（2）向量加法的通俗解释
  我们可以把每个向量看成是一种特定的运动，即在空间中朝着一个方向迈出一定距离。对于上图2中的向量加法，我们先沿着第一个向量 $\mathbf{v}$ 的方向进行运动，然后再按照第二个向量 $\mathbf{w}$ 的方向进行移动。其实这两次的总体运动效果就等价于从原点出发，沿着向量$\mathbf{v}+\mathbf{w}$的方向进行运动。
  更通俗地来讲，你可以把向量 $\mathbf{v}+\mathbf{w}$看成从原点出发，先向右走1步，再往上移动2步，接着往右移动3步，最后向下移动1步。或者也可以看作从原点出发，先向右走4步，再向上移动1步。这也就证明了：$\mathbf{v}+\mathbf{w}=[1,2]+[3,-1]=[1+3,2-1]=[4,1]$。

3.2 向量数乘

  假设 $\mathbf{v}=[3,1]$，那么 $2\mathbf{v}=[2\times 3,2\times 1]=[6,2]$，如下图3所示。

由图3可知， $2\mathbf{v}$相当于把向量 $\mathbf{v}$ 拉长为原来的2倍。如果是 $\frac{1}{3}\mathbf{v}=[\frac{1}{3}\times 3,\frac{1}{3}\times 1]=[1,\frac{1}{3}]$，那么就相当于把向量 $\mathbf{v}$ 缩短为原来的$\frac{1}{3}$，如下图4所示。

当一个向量与一个负数相乘时，例如 $-1.8\mathbf{v}=[-1.8\times 3,-1.8\times 1]=[-5.4,-1.8]$，表示首先这个向量 $\mathbf{v}$ 先反向，然后伸长为原来的1.8倍，其运算结果如下图5所示。

上述的这种拉伸或者压缩，有时又使向量反向的过程被称为缩放。

4. 向量点乘(结果是一个数)

（1）几何表示：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\times |\mathbf{b}|\times \cos \theta$，其中 $\theta$ 是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的夹角，$|\mathbf{a}|$ 是向量$\mathbf{a}$的模(大小)，$|\mathbf{b}|$ 是向量 $\mathbf{b}$ 的模(大小)。图形化描述如下所示，从下图可知，向量点乘通常用来描述一个向量在另一个向量的投影分量。

（2）代数表示：$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$，$\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$，则 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$（向量内积，点乘）。

（3）例子：$\mathbf{a}=(1,1)$，$\mathbf{b}=(1,0)$，我们可以在二维坐标系(X-Y)上显示这两个向量，这两个向量之间的夹角为45°。因此：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\sqrt{2}\times 1\times \cos 45=1$，或者使用点积来表示：$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=1\times 1+1\times 0=1$。

参考：【熟肉】线性代数的本质 - 01 - 向量究竟是什么？
向量点乘的图形学意义