通俗理解低秩分解
通俗理解低秩分解
flyfish
一、满秩
1. 什么是“满秩”
“满秩”是指一个矩阵的秩达到了它可能的最大值，也就是它所有的行或列都是独立的，没有哪一行或哪一列可以通过其他行或列的组合得到。这个时候，我们说矩阵是满秩的 。
2. 具体例子
假设我们有一个表格，它有 3 行和 3 列，里面的数据是：
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
147258369
如果每一行都提供了新的信息，不能用其他行的组合得到，那么这个表格是满秩的 。
但是，如果其中一行可以通过其他行的组合得到，比如：
第三行
=
7
×
第一行
+
第二行
\text{第三行} = 7 \times \text{第一行} + \text{第二行}
第三行=7×第一行+第二行
那么这个矩阵就不是满秩的，因为不是所有行都有独立的新信息。
二、低秩矩阵
低秩矩阵是指一个矩阵的秩（它的行或列的独立信息的数量）比矩阵的行数或列数要小得多，也就是它的秩远低于它的最大可能值。
低秩矩阵的秩较小，意味着它包含的“独立信息”很少。矩阵的某些行或列可以用其他行或列的线性组合表示，说明这些行列之间存在较大的重复信息。
所以，低秩矩阵 可以理解为秩亏的矩阵，但“低秩”强调的是这个秩值特别小。
例子：
假设有一个 4 × 4 4 \times 4 4×4 的矩阵，最大可能的秩是 4。如果它的秩只有 2，这就说明它是一个低秩矩阵 ，因为它的秩远低于 4，说明很多行和列是可以通过其他行或列的线性组合得到的。
三、什么是低秩分解
低秩分解是指将一个矩阵分解成两个（或多个）矩阵的乘积，这些矩阵的秩较小，从而近似表示原始矩阵。通过这种分解，我们能够用更简单的结构来表示一个复杂的矩阵。
低秩分解的目的是在保留主要信息的前提下，减少数据的复杂度，也就是说，用秩较小的矩阵来近似表达一个矩阵。