【算法】动态规划—最长公共子序列
最长公共子序列问题就是求出两个字符串的LCS长度，是一道非常经典的面试题目，因为它的解法是典型的二维动态规划。
比如输入 str1 = "babcde", str2 = "acbe"，算法应该输出3，因为 str1 和 str2 的最长公共子序列是 "ace"，它的长度是3。
子序列类型的问题，穷举出所有可能的结果都不容易，而动态规划算法做的就是穷尽+剪枝，它俩天生一对。所以可以说只要涉及子序列问题，十有八九需要动态规划来解决，往这方面考虑就对了。
动态规划思路
第一步，一定要明确dp数组的含义
对于两个字符串的动态规划问题，套路都是通用的，一般都需要一个二维dp数组。比如对于字符串 str1 和 str2，一般来说要构造一个这样的 DP table：
其中，dp[i][j]的含义是：对于 str1[0...i-1] 和 str2[0...j-1]，它们的LCS长度是 dp[i][j]。
上图这个例子，dp[2][4] = 2 的含义就是：对于 "ac" 和 "babc"，它们的LCS长度是2。根据这个定义，最终想得到的答案应该是 dp[3][6]。
第二步，定义base case
专门让索引为0的行和列表示空串，dp[0][..]，dp[..][0]都应该初始化为0，这就是 base case。比如按照刚才dp数组的定义，dp[0][3]=0 的含义是：对于空字符串 "" 和 "bab"，其LCS的长度为0。因为一个字符串是空串，它们的最长公共子序列的长度显然应该是0。
第三步，找状态转移方程
很简单，做两种选择，要么在lcs中，要么不在。
如果 str1[i] == str2[j]，说明这个公共字符一定在lcs中。
if str[i] == str[j]:
dp(i, j) = dp(i-1, j-1) + 1
如果 str1[i] != str2[j]，说明 str[i] 和 str[j] 至少有一个不在lcs中，那么到底哪个字符不在lcs中？都试一下呗：
if str1[i] != str2[j]:
dp(i, j) = max(dp(i-1, j), dp(i, j-1))
第四步，直接写暴力解法
首先写一个递归解法：
package DynamicProgramming;
// leetcode 095 最长公共子序列
// 暴力解法 (提交超出时间限制)
public class LCS {
private String text1;
private String text2;
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
this.text1 = text1;
this.text2 = text2;
// 计算str1[0...i-1]和str2[0...j-1]中的lcs长度
return dp(text1.length() - 1, text2.length() - 1);
}
public int dp(int i, int j) {
// 递归终止条件
// 空串的 base case
if (i == -1 || j == -1) {
return 0;
}
// 递归操作
// 状态转移方程
if (text1.charAt(i) == text2.charAt(j)) {
// 这边找到一个lcs中的元素
return dp(i - 1, j - 1) + 1;
} else {
// 至少有一个字符不在lcs中
// 都试一下，谁能让lcs最长，就听谁的
return Math.max(dp(i - 1, j), dp(i, j - 1));
}
}
public static void main(String[] args) {
LCS lcs = new LCS();
int len = lcs.longestCommonSubsequence("babcde", "acbe");
System.out.println(len);
}
}
第五步，引入 DP table 来优化时间复杂度
// 引入dp table
public class LCS {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
// 1.定义dp table
int m = text1.length();
int n = text2.length();
// 要算上表示空串的行列
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
// 2.base case int型的数组默认值都是零，所以这一步可以没有
// 3.状态转移方程
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
// 状态转移逻辑
if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
public static void main(String[] args) {
LCS lcs = new LCS();
int len = lcs.longestCommonSubsequence("babcde", "acbe");
System.out.println(len);
}
}