Python 将矩阵转换为行最简形式 (Row Echelon Form, REF)和列最简形式 (Column Echelon Form, CEF)

Python 将矩阵转换为行最简形式 (Row Echelon Form, REF)和列最简形式 (Column Echelon Form, CEF)

flyfish

通俗理解矩阵的秩
通俗理解低秩分解
一个矩阵的行数和列数可能不同，为什么它的行秩和列秩始终相同

主元 (Pivot Element)
主元 (pivot) 是行最简形式或列最简形式中的每一行（或列）的第一个非零元素。在行最简形式中，主元是每一行从左到右遇到的第一个非零数；在列最简形式中，主元是每一列从上到下遇到的第一个非零数。

主元的作用：
在行最简形式 (REF) 中，主元用来确定矩阵的阶梯形排列，并且主元所在的列是用来消去其他行的关键元素。
在列最简形式 (CEF) 中，主元同样用来确定列的阶梯形排列。

主元归一化为 1 之后，后续的行变换（例如消去主元所在列的其他元素）会变得更简单。
归一化后的矩阵会显得更加整洁，并且在数学计算（如求解线性方程组）时，得到的结果更直观。RREF 是唯一的形式（与 REF 不同，REF 不是唯一的），这意味着一个矩阵的 RREF 形式是唯一的，可以用来判断线性系统的唯一性和解的形式。

当要求主元为 1 时，矩阵的行最简形式 (Row Echelon Form, REF) 和列最简形式 (Column Echelon Form, CEF) 会遵循更加严格的规范。主元为 1 的情况实际上是简化的行阶梯形矩阵 （Reduced Row Echelon Form, RREF）和简化的列阶梯形矩阵 （Reduced Column Echelon Form, RCEF）。

行最简形式 (Row Echelon Form, REF) 且主元为 1

行最简形式是通过初等行变换将矩阵转换为一种阶梯形。要求主元为 1 使得它接近于简化行阶梯形矩阵 (RREF)，但在 REF 中，我们不要求主元所在列的其他元素都为 0。具体要求如下：

每一行的第一个非零元素是 1（即主元为 1）。
每一行的主元比上一行的主元在更靠右的位置。
如果矩阵中有零行（全为 0 的行），这些零行必须在矩阵的最下方。

举例：

考虑矩阵 $$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 1& 3& 5\\ 0& 1& 2\end{array}\right]$$，通过初等行变换，我们可以将其转化为行最简形式，且主元为 1：$$A\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

这是一个行最简形式矩阵，且每一行的主元都为 1。

特点：

第一行的主元是 1，位于第一列。
第二行的主元是 1，位于第二列。
第三行是零行。

列最简形式 (Column Echelon Form, CEF) 且主元为 1

列最简形式是通过初等列变换将矩阵转换为一种阶梯形，要求主元为 1。列最简形式的特点类似于行最简形式，只是它针对列进行操作。具体要求如下：
每一列的第一个非零元素是 1（即主元为 1）。
每一列的主元比上一列的主元在更靠下的位置。
如果矩阵中有零列（全为 0 的列），这些零列必须在矩阵的最右侧。

举例：

考虑矩阵 $$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$$，我们可以通过初等列变换将其转化为列最简形式，且主元为 1：

1. 交换第一列和第二列，使得主元出现在第一列的第一行中：
   $$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\\ 6& 5\end{array}\right]$$

2. 将第一列的第一个元素 2 变为 1，即：$$R_1=\frac{1}{2}{R}_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 4& 3\\ 6& 5\end{array}\right]$$

3. 使用主元消去第一列其他行的元素：
   $$R_2=R_2-4\times R_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ -1& 2\end{array}\right]$$

最终的列最简形式为：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ -1& 2\end{array}\right]$$

特点：

第一列的主元是 1，位于第一行。
第二列的主元是 1，位于第二行。
第三行的元素依然存在，但不影响列最简形式。

import sympy as sp

# 定义矩阵
A = sp.Matrix([[1, 2], [3,4], [5,6]])

# 计算行最简形式
rref_matrix, pivot_columns = A.rref()

print("行最简形式:")
print(rref_matrix)
print("主元列:")
print(pivot_columns)

# 转置矩阵，计算行最简形式，再转置回来
cef_matrix, pivot_columns = A.T.rref()
cef_matrix = cef_matrix.T

print("列最简形式:")
print(cef_matrix)

输出

行最简形式:
Matrix([[1, 0], [0, 1], [0, 0]])
主元列:
(0, 1)
列最简形式:
Matrix([[1, 0], [0, 1], [-1, 2]]

如果换下矩阵

A = sp.Matrix([[2, 4,6], [1,3,5], [0,1,2]])

结果是

行最简形式:
Matrix([[1, 0, -1], [0, 1, 2], [0, 0, 0]])
主元列:
(0, 1)
列最简形式:
Matrix([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [-1/2, 1, 0]])