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【华为OD】2024D卷——生成哈夫曼树

article 2024/11/15 1:10:25

题目描述：
给定长度为n的无序的数字数组，每个数字代表二叉树的叶子节点的权值，数字数组的值均大于等于1。
请完成一个函数，根据输入的数字数组，生成哈夫曼树，并将哈夫曼树按照中序遍历输出。

为了保证输出的二叉树中序遍历结果统一，增加以下限制：
二叉树节点中，左节点权值小于等于右节点权值，
根节点权值为左右节点权值之和。
当左右节点权值相同时，左子树高度高度小于等于右子树。

注意：所有用例保证有效，并能生成哈夫曼树。

提醒：哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。
所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度
（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。

解题思路：

由于未找到输入输出示例，自己手动创建一个输入权重列表weights = [5,5,15,40,30,10]

根据题意中，哈夫曼树的要求，可以构造树形如下：

故中序遍历结果[40, 105, 30, 65, 15, 35, 10, 20, 5, 10, 5]

构造哈夫曼树

1、创建一个优先级队列（最小堆）并将数组中的每个叶子节点作为一个节点加入堆中。

由于直接将节点压入最小堆中，使其只基于节点的权重进行比较。需要在树节点中重写类的 __lt__() 方法。

解决可以解决heapq 无法比较 Node 实例的问题，否则会遇见报错TypeError: '<' not supported between instances of 'TreeNode' and 'TreeNode'。

2、不断从堆中取出两个最小的节点作为左右子树，构造一个新的父节点，其权值为两个节点权值之和，并将新节点插入堆中。

3、重复此过程，直到堆中只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。

对限制条件进行处理

1、在合并左右节点时，如果两个节点的权值相等，则优先选择左子树高度小于或等于右子树的情况。

故需要统计每个节点的高度，可以在树节点类型中添加height值。

2、根节点权值为左右节点权值之和。

在构造时，父节点权值 = left_weight + right_weight，重新压入heapq中。

3、如果左右节点的权值不等，左子树权值必须小于等于右子树权值。

heapq弹出的第一个元素为左孩子、第二个为右孩子。

中序遍历输出

使用递归进行中序遍历：左子树 -> 根节点 -> 右子树。

代码部分

class TreeNode:
    def __init__(self, weight, left = None, right = None):
        self.weight = weight
        self.left = left
        self.right = right
        self.height = 1
    #   递归计算节点的高度
    def get_height(self):
        if not self.left and not self.right:
            return 1
        left_height = self.left.get_height() if self.left else 0
        right_height = self.right.get_height() if self.right else 0
        return 1 + max(left_height, right_height)
    #   重写方法，基于节点的权重进行比较。这解决了 heapq 无法比较 Node 实例的问题
    def __lt__(self, other):
        return self.weight < other.weight
import heapq
class Solution:
    def build_huffman_tree(self, weights):
        if not weights:
            return 
        # 初始化最小堆，创建叶子节点
        heap = [TreeNode(weight) for weight in weights]
        heapq.heapify(heap)
        while len(heap) > 1:
            # 取出两个权值最小的节点
            left = heapq.heappop(heap)
            right = heapq.heappop(heap)
            # 如果权值相同，按照高度进行处理
            if left.weight == right.weight:
                left_height = left.get_height()
                right_height = right.get_height()
                # 确保左子树高度 <= 右子树高度
                if left_height > right_height:
                    left, right = right, left
            # 创建新的父节点，权值为左右节点权值之和
            merged_node = TreeNode(left.weight + right.weight, left, right)
            heapq.heappush(heap, merged_node)
        # 返回堆中唯一的节点，即哈夫曼树的根节点
        return heap[0]
    #   栈迭代法进行中序遍历
    def midorder_traversal(self, root:TreeNode):
        res = []
        if root is None:
            return
        stack = [root]
        while stack:
            node = stack.pop()
            if node != None:
                #   按照顺序压栈：右节点、中节点、左节点
                if node.right:
                    stack.append(node.right)
                stack.append(node)
                #   中节点访问过，但是还没有处理，加入空节点做为标记。
                stack.append(None)
                if node.left:
                    stack.append(node.left)
            #  只有遇到空节点的时候，才将下一个节点放进结果集
            else:
                #   按照左节点、中节点、右节点出栈
                node = stack.pop()
                res.append(node.weight)
        return res
    #   递归法进行中序遍历
    def midorder_traversal_I(self, root:TreeNode):
        res = []
        def dfs(node):
            if node is None:
                return
            dfs(node.left)
            res.append(node.weight)
            dfs(node.right)
        dfs(root)
        return res
    #   递归法简化写法
    def midorder_traversal_II(self, root:TreeNode):
        if root is None:
            return []
        return self.midorder_traversal_II(root.left) + [root.weight] + self.midorder_traversal_II(root.right)

if __name__=='__main__':
    weights = list(map(int, input().split(',')))
    solution = Solution()
    huffman_tree = solution.build_huffman_tree(weights)
    result = solution.midorder_traversal(huffman_tree)
    print(result)

拓展：

__lt__() 方法是一个特殊方法（也称为魔术方法或双下划线方法），它用于定义小于（<）运算符的行为。

在尝试比较两个类的实例时，如果这两个实例之间的比较逻辑不是简单的基于它们的值或身份（即不是直接通过 ==、!=、<、<=、>、>= 这样的操作符），就可以通过定义这些特殊方法来自定义这些操作符的行为。

__lt__() 方法应该接收一个参数（即与当前实例进行比较的另一个实例），并返回一个布尔值：如果当前实例小于传入的参数，则返回 True；否则返回 False。

哈夫曼树的特点：

带权路径长度（WPL, Weighted Path Length）最小：

·对于一组给定的字符及其出现的频率（即权重），哈夫曼树能够构造出一种编码方式，使得这些字符的平均编码长度最短。

·这是通过构建一种特殊的二叉树来实现的，其中每个字符都位于树的一个叶节点上，且该叶节点到根节点的路径上的边所代表的字符（在哈夫曼编码中通常使用0和1表示）共同构成了该字符的编码。

贪心算法构建：

·哈夫曼树的构建过程采用了贪心算法的策略。

·它从包含n个叶节点的森林开始，每个叶节点代表一个字符及其出现的频率。

·然后，算法反复地选择两个频率最小的节点，将它们合并为一个新的节点，新节点的频率是两个子节点频率之和。

·新节点作为这两个子节点的父节点，而原来的两个节点则成为新节点的左右子节点（通常约定左子节点频率小于等于右子节点）。

·这个过程一直进行，直到森林中只剩下一个节点为止，这个节点即为根节点，整棵树就是所求的哈夫曼树。