【笔记】进制转换

一、任意进制转十进制

基数：表示基本数字符号的个数。
比如十进制就是0-9，基数有10个；十六进制就是0-9、A-F，基数有16个。

权：每一位表示的数值。
比如十进制的8769里8代表8* 1000，7代表7* 100，6代表6* 10，9代表9* 1。这里的千位数代表1000，百位数代表100，十位数代表10，个位数代表1。

权=基数^x，x表示位数（从右往左数，从0开始）

还是以十进制为例子，千位数的权=基数10^3=1000

十进制数=各位数字*权的和

按权展开法：$十进制数={\sum }_i第i位数字\ast 第i位数字的权={\sum }_i第i位数字\ast 基{数}^i$

1、整数转化成十进制

（1）二进制转十进制

$10101_2=1\times 2^4+0\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=16+0+4+0+1=21$

（2）八进制转十进制

$2573_8=2\times 8^3+5\times 8^2+7\times 8^1+3\times 8^0=1403$

2、小数转化成十进制

（1）二进制转十进制

$1101.1001_2=1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+1\times 2^{-1}+0\times 2^{-2}+0\times 2^{-3}+1\times 2^{-4}=8+4+0+1+1/2+0+0+1/16=13.5625$

（2）八进制转十进制

$573.12_8=5\times 8^2+7\times 8^1+3\times 8^0+1\times 8^{-1}+2\times 8^{-2}=320+56+3+1/8+1/32=379.15625$

3、代码

1、整数转化成十进制

写法1

def k_to_ten(k,x):
    ans=0
    for i in list(x):
        ans=ans*k+int(i)
    return ans
print(k_to_ten(8,"2573"))
# 1403

print(k_to_ten(2,"10101"))
# 21

写法2

int_to_char="0123456789ABCDEF"
char_to_int={}
for i in range(16):
    char_to_int[int_to_char[i]]=i

def k_to_ten(k,x):
    ans=0
    for i in x:
        ii=char_to_int[i]
        ans=ans*k+ii
    return ans
print(k_to_ten(8,"2573"))

写法3

int_to_char="0123456789ABCDEF"
char_to_int={}
for i in range(16):
    char_to_int[int_to_char[i]]=i

def k_to_ten(k,x):
    ans=0
    length=len(x)
    for index,char in enumerate(list(x)):
        ii=char_to_int[char]
        ans+=ii*k**(length-index-1)
    return ans
print(k_to_ten(2,"10101"))

2、小数转化成十进制

int_to_char="0123456789ABCDEF"
char_to_int={}
for i in range(16):
    char_to_int[int_to_char[i]]=i
def k_to_ten(k,x):
    # 把x分成正数和小数
    x=x.split('.')
    ans=0
    for index,char in enumerate(list(x[0])):
        length=len(x[0])
        ii=char_to_int[char]
        ans+=ii*k**(length-index-1)
    for index,char in enumerate(list(x[1])):
        ii=char_to_int[char]
        ans+=ii*k**(-(index+1))
    return ans
print(k_to_ten(8,"573.12"))
# 379.15625

二、十进制转任意进制

除k取余法：十进制数字不断除以k求余数，然后逆序输出。

之前已经知道了$十进制数={\sum }_i第i位数字\ast 第i位数字的权={\sum }_i第i位数字\ast 基{数}^i$，那么除以基数k就可以以低位到高位的顺序得到基数。

以把十进制的99转化成二进制为例子：
99/2=49……1
49/2=24……1
24/2=12……0
12/2=6……0
6/2=3……0
3/2=1……1
1/2=0……1
$所以99_{10}=01100011_2$

1、十进制整数转化成其他进制

还是以是十进制数99为例：

$99_{10}=01100011_2$

99/2=49……1
49/2=24……1
24/2=12……0
12/2=6……0
6/2=3……0
3/2=1……1
1/2=0……1
99=1*2**6+1*2**5+0*2**4+0*2**3+0*2**2+1*2**1+1*2**0

$99_{10}=143_8$

99/8=12……3
12/8=1……4
1/8=0……1
99=1*8**2+4*8**1+3*8**0

$99_{10}=63_{16}$

99/16=6……3
6/16……6
99=6*16**1+6*16**0

2、十进制小数转化成其他进制

除k取整法：十进制小数转k进制，乘以k求整数，然后顺序输出。

$0.625_{10}=0.101_2$

例题

1、十进制整数转化成其他进制

input: 十进制int
output: k进制整数

int_to_char="0123456789"

def ten_to_k(k,x):
    ans=[]
    if x==0:
        ans.append(0)
        return
    while x:
        ans.append(x%k)
        x=x//k
    ans.reverse()
    print(ans)
    for i in ans:
        print(int_to_char[i],end="")
    return
ten_to_k(8,99)
# 143

input: 十进制int
output: k进制列表

int_to_char="0123456789"

def ten_to_k(k,x):
    ans=[]
    if x==0:
        ans.append(0)
        return ans
    while x:
        ans.append(x%k)
        x=x//k
    ans.reverse()
    return ans
print(ten_to_k(8,99))
# [1,4,3]

2、十进制小数转化成其他进制

int_to_char="0123456789"
def ten_to_k(k,x):
    x=str(x)
    # 把x分成正数和小数
    x=x.split('.')
    x=[int(x[0]),int(x[1])/10**len(x[1])]
    ans=[[],[]]
    if x[0]==0:
        ans[0].append(0)
    while x[0]:
        ans[0].append(x[0]%k)
        x[0]=x[0]//k
    ans[0].reverse()
    while x[1]:
        # 依次乘k
        zs=x[1]*k
        # 取整数部分
        ans[1].append(int(zs//1))
        x[1]=zs-zs//1
    all=[''.join([int_to_char[i] for i in ans[0]]),'.']+[''.join([int_to_char[i] for i in ans[1]])]
    return all
print(ten_to_k(2,0.625))
# ['0', '.', '101']

例题

lanqiao1230 进制转换
lanqiao2095 九进制转十进制
lanqiao2489 进制