《线性代数》常用公式定理总结
文章目录
- 1 行列式
- 1.1 克拉默法则
- 1.2 基本性质
- 1.3 余子式 M i j M_{ij} Mij
- 1.4 代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} Aij=(−1)i+j⋅Mij
- 1.5 具体型行列式计算（化为基本型）
- 1.5.1 主对角线行列式：主对角元素相乘
- 1.5.2 副对角线行列式：副对角元素相乘并判断正负号
- 1.5.3 拉普拉斯展开式
- 1.5.4 范德蒙德行列式：只看第二行，右减左，全都减，减完乘起来
- 1.5.5 加边法：没有明显的公共规律，自己补一个公共规律
- 1.5.6 递推法（适用于计算异爪型行列式）：高阶→低阶
- 1.5.7 数学归纳法（适用于证明题）：低阶→高阶
- 1.5.8 一些处理手段
- 1.6 抽象型行列式的计算： a i j a_{ij} aij未给出
- 1.6.1 用行列式性质
- 1.6.2 用矩阵知识
- 1.6.3 用相似理论
- 2 矩阵
- 2.1 转置、逆、伴随的一些关系式
- 2.2 求 A n A^n An
- 2.2.1 A为方阵，且r(A)=1
- 2.2.2 试算 A 2 A^2 A2（或 A 3 A^3 A3），找规律【归纳法→探索、研究精神！】
- 2.2.3 A=B+C用二项展开式
- 2.2.4 用相似理论
- 2.3 矩阵的伴随
- 求法
- 2.4 矩阵的逆
- 2.5 矩阵的转置
- 2.6 初等矩阵（左行右列）
- 2.7 分块矩阵
- 2.8 矩阵方程（含未知矩阵X）
- 2.9 矩阵方程求解
- 2.10 秩
- 2.11 行向量组等价（两方程组同解问题）
- 2.12 维数与向量的关系
- 3 齐次线性方程组
- 4 非齐次线性方程组
- 5 公共解问题
- 6 同解问题
- 7 抽象型方程组
- 7.1 矩阵A各行元素之和均为0
- 7.2 方程组解的个数与秩的关系
- 7.3 选择题常考
- 7.4 证线性无关
- 7.5 证线性相关
- 7.6 线性方程组的几何意义
- 7.7 线性表出
- 8 向量空间
- 8.1 向量空间中的坐标
- 8.2 过渡矩阵
- 8.3 坐标变换
- 9 特征值特征向量
- 9.1 施密特正交化
- 9.2 用特征值和特征向量求A
- 10 相似
- 10.1 相似的五个性质
- 10.2 相似的结论
- 10.3 相似对角化
- 11 实对称矩阵（必能相似对角化）
- 12 正交矩阵
- 13 二次型
- 13.1 惯性定理
- 13.2 配方法
- 13.3 正交变换法
- 13.3.1 常规计算
- 13.3.2 反求参数，A或（f）
- 13.3.3 最值问题
- 13.3.4 几何应用
- 14 合同
- 14.1 实对称矩阵的合同
- 15 正定二次型（正定矩阵）
- 16 反对称矩阵
1 行列式
1.1 克拉默法则
1.2 基本性质
-
交换性质：
行列式的行列互换，行列式的值不变。 -
对角矩阵的行列式：
对于对角矩阵（或更一般的上三角矩阵或下三角矩阵），行列式等于对角线上元素的乘积。 ∣ a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ∣ = a 11 a 22 ⋯ a n n \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= a_{11} a_{22} \cdots a_{nn} a110⋮00a22⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮ann =a11a22⋯ann -
矩阵乘积的行列式：
两个矩阵相乘的行列式等于它们行列式的乘积。det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) \det(AB) = \det(A) \det(B) det(AB)=det(A)det(B)
-
行列互换的行列式：
交换矩阵的两行（或两列），行列式取相反数。det ( A ) = − det ( B ) \det(A) = -\det(B) det(A)=−det(B)
-
相同行（或列）的行列式：
如果矩阵的两行（或两列）相同，则该行列式为零。 -
比例行（或列）的行列式：
如果矩阵的两行（或两列）成比例，则该行列式为零。 -
加法性质：
如果矩阵的某一行（或某一列）是两行（或两列）的和，则行列式等于这两行（或两列）分别替换的行列式之和。 -
行列式的行数与列数：
行列式仅对方阵（行数等于列数的矩阵）定义。 -
行列式与矩阵的转置：
矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式。det ( A ) = det ( A T ) \det(A) = \det(A^T) det(A)=det(AT)
-
单位矩阵的行列式：
单位矩阵的行列式为1。det ( E ) = 1 \det(E) = 1 det(E)=1
-
矩阵的行（或列）倍加法不变性：
对矩阵的某一行（或列）进行倍加（即将该行（或列）加上另一行（或列）的某个倍数）操作，行列式不变。 -
矩阵的数乘：
如果将矩阵的某一行（或某一列）乘以一个数 c c c，那么行列式等于原行列式乘以 c c c。det ( c A ) = c n det ( A ) \det(cA) = c^n \det(A) det(cA)=cndet(A)
1.3 余子式 M i j M_{ij} Mij
余子式是从一个 n × n n \times n n×n矩阵中，删除某一行和某一列后得到的 ( n − 1 ) × ( n − 1 ) (n-1) \times (n-1) (n−1)×(n−1)矩阵的行列式。
定义：
对于一个矩阵
A
A
A的元素
a
i
j
a_{ij}
aij，其对应的余子式
M
i
j
M_{ij}
Mij是指从矩阵
A
A
A中删除第
i
i
i行和第
j
j
j列后得到的子矩阵的行列式。
1.4 代数余子式 A i j = ( − 1 ) i + j ⋅ M i j A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij} Aij=(−1)i+j⋅Mij
代数余子式是余子式的带符号版本，用于行列式的展开。具体来说，代数余子式 A i j A_{ij} Aij定义为：
A
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
⋅
M
i
j
A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
Aij=(−1)i+j⋅Mij
∣
A
∣
=
∑
j
=
1
n
a
i
j
A
i
j
=
∑
i
=
1
n
a
i
j
A
i
j
|A|=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}
∣A∣=j=1∑naijAij=i=1∑naijAij
注意：代数余子式
A
i
j
A_{ij}
Aij就是伴随矩阵
A
∗
A^*
A∗的矩阵系数
A
∗
=
(
A
11
A
21
⋯
A
n
1
A
12
A
22
⋯
A
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
A
1
n
A
2
n
⋯
A
n
n
)
T
A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}^T
A∗=
A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋱⋯An1An2⋮Ann
T
1.5 具体型行列式计算（化为基本型）
1.5.1 主对角线行列式：主对角元素相乘
1.5.2 副对角线行列式：副对角元素相乘并判断正负号
1.5.3 拉普拉斯展开式
1.5.4 范德蒙德行列式：只看第二行，右减左，全都减，减完乘起来
1.5.5 加边法：没有明显的公共规律，自己补一个公共规律
1.5.6 递推法（适用于计算异爪型行列式）：高阶→低阶
建立两阶或三阶之间的关系，且每阶的元素分布规律必须相同
1.5.7 数学归纳法（适用于证明题）：低阶→高阶
- 第一数学归纳法（验证1个）：验证 n = 1 n=1 n=1时成立，再假设 n = k （ k ≥ 2 ） n=k（k≥2） n=k（k≥2）时成立，最后证明 n = k + 1 n=k+1 n=k+1时成立，由此推出对任意 n n n成立
- 第二数学归纳法（验证2个）：验证 n = 1 ， n = 2 n=1，n=2 n=1，n=2时成立，再假设 n < k n<k n<k时成立，最后证明 n = k n=k n=k时成立，由此推出对任意 n n n成立
用数学归纳法证爪型行列式通式：
- n = 1 n=1 n=1
- n = 2 n=2 n=2
- 假设 n < k n<k n<k时成立
- 当 n = k n=k n=k时，按第一列展开得通式形式
- 得证
1.5.8 一些处理手段
1.6 抽象型行列式的计算： a i j a_{ij} aij未给出
1.6.1 用行列式性质
1.6.2 用矩阵知识
1.6.3 用相似理论
2 矩阵
2.1 转置、逆、伴随的一些关系式
2.2 求 A n A^n An
2.2.1 A为方阵，且r(A)=1
2.2.2 试算 A 2 A^2 A2（或 A 3 A^3 A3），找规律【归纳法→探索、研究精神！】
2.2.3 A=B+C用二项展开式
2.2.4 用相似理论
2.3 矩阵的伴随
求法
简单一点求矩阵的伴随，进而用伴随来求矩阵的逆
2.4 矩阵的逆
2.5 矩阵的转置
2.6 初等矩阵（左行右列）
2.7 分块矩阵
2.8 矩阵方程（含未知矩阵X）
2.9 矩阵方程求解
2.10 秩
矩阵的秩是其行秩和列秩的值，而行秩与列秩总是相等的。秩决定了矩阵的行向量或列向量的线性独立性，也影响了线性方程组的解的情况（如是否有解以及解的数量）
在两个向量组中，被表示的向量组的秩不大于表示它的向量组的秩。（即：两向量组中，被表示的向量组的秩不大）
2.11 行向量组等价（两方程组同解问题）
两个行向量组 等价，当且仅当它们能通过一系列初等行变换相互转换。
具体解释
- 如果矩阵 A A A 和矩阵 B B B 的行向量组等价，这意味着可以通过对 A A A 进行有限次初等行变换，得到 B B B。反之亦然。换句话说， A A A 和 B B B 具有相同的行空间，它们的行向量可以通过相同的线性组合生成。
2.12 维数与向量的关系
-
维数
- 维数 指的是向量中元素的个数。在矩阵中，维数通常指的是向量所在空间的维度。例如，一个在 R m \mathbb{R}^m Rm 空间中的向量有 m m m 个元素。
- 对于一个线性方程组来说，维数 指的是系数矩阵的行数，也是方程的个数。
-
向量个数
- 向量个数 指的是列向量的个数，通常是系数矩阵的列数，也代表方程中未知数的个数。
-
线性相关性
- 如果矩阵的列数大于行数（向量个数 > 维数），则这些列向量必定线性相关。
假设有一个矩阵 A A A 为 3 × 4 3 \times 4 3×4 矩阵（ 3 3 3 行， 4 4 4 列）：
- 向量的维数是 3 3 3，因为每个列向量有 3 3 3 个元素。
- 向量的个数是 4 4 4，因为矩阵有 4 4 4 列。
- 因为 4 > 3 4 > 3 4>3，根据线性代数定理， A A A 的列向量必定是线性相关的。
3 齐次线性方程组
4 非齐次线性方程组
5 公共解问题
6 同解问题
- 行向量组等价是两个方程组同解的充要条件。如果两个线性方程组的增广矩阵的行向量组是等价的（即通过初等行变换可以互相转换），那么这两个方程组一定有相同的解集。这是因为初等行变换不会改变线性方程组的解。
- 如果矩阵 A A A 和 B B B 行等价，则存在一个可逆矩阵 P P P 使得 P A = B PA = B PA=B 。这表明可以通过对 A A A 进行初等行变换得到 B B B，而这些初等行变换可以表示为一个可逆矩阵 P P P 作用在 A A A 上。
- 一个行向量代表一个方程，行向量组的一次初等行变换相当于对方程组做了一次同解变形。由于初等行变换不会改变线性方程组的解集，所以两个增广矩阵行向量组等价，意味着它们对应的方程组有相同的解。
- 列向量的关系则与方程组是否有解密切相关。
- 若两个方程组互为线性组合，则两个方程组等价。等价的两个方程组一定同解，但同解的两个方程组不一定等价。
7 抽象型方程组
7.1 矩阵A各行元素之和均为0
7.2 方程组解的个数与秩的关系
7.3 选择题常考
7.4 证线性无关
7.5 证线性相关
要证线性相关，那么只需要证得有一个系数不为0就能使等式成立即可。
7.6 线性方程组的几何意义
有解情况
\mathbf{有解情况}
有解情况
| 几何意义 | 代数表达 |
|---|---|
| 三平面相交于一点（唯一解） | r ( A ) = r ( A ‾ ) = 3 r(A)=r(\overline{A})=3 r(A)=r(A)=3法向量两两正交 |
| 三平面相交于一条线 | r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 r(A)=r(\overline{A})=2 r(A)=r(A)=2且 β 1 , β 2 , β 3 β_1,β_2,β_3 β1,β2,β3两两线性无关（任何两面都不重合） |
| 两平面重合，第三平面与之相交 | r ( A ) = r ( A ‾ ) = 2 r(A)=r(\overline{A})=2 r(A)=r(A)=2且 β 1 , β 2 , β 3 β_1,β_2,β_3 β1,β2,β3中有两个向量线性相关（存在两个面重合） |
| 三平面重合 | r ( A ) = r ( A ‾ ) = 1 r(A)=r(\overline{A})=1 r(A)=r(A)=1 |
如果三个平面的法向量两两正交，那么对应的线性方程组有唯一解；若此时引入第四个平面，当且仅当第四个平面与前三个平面相交于同一个点时，方程组有唯一解，除此之外无解。
无解情况 \mathbf{无解情况} 无解情况
| 几何意义 | 代数表达 |
|---|---|
| 三平面两两 相交 \mathbf{相交} 相交，且交线相互平行 | r ( A ) = 2 ， r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2，r(\overline{A})=3 r(A)=2，r(A)=3且 n 1 , n 2 , n 3 n_1,n_2,n_3 n1,n2,n3两两线性无关（任何两个面都不相交） |
| 两平面平行，第三张平面与它们 相交 \mathbf{相交} 相交 | r ( A ) = 2 ， r ( A ‾ ) = 3 r(A)=2，r(\overline{A})=3 r(A)=2，r(A)=3且 n 1 , n 2 , n 3 n_1,n_2,n_3 n1,n2,n3中有两个向量线性相关（存在两个面平行但不重合） |
| 三张平面相互平行但不重合 | r ( A ) = 1 ， r ( A ‾ ) = 2 r(A)=1，r(\overline{A})=2 r(A)=1，r(A)=2且 β 1 , β 2 , β 3 β_1,β_2,β_3 β1,β2,β3两两线性无关（任何两个面都不重合） |
| 两张平面重合，第三张平面与它们平行但不重合 | r ( A ) = 1 ， r ( A ‾ ) = 2 r(A)=1，r(\overline{A})=2 r(A)=1，r(A)=2且 β 1 , β 2 , β 3 β_1,β_2,β_3 β1,β2,β3中有两个向量线性相关（存在两个面重合） |
7.7 线性表出
8 向量空间
8.1 向量空间中的坐标
题型1：要求一个非零向量
b
\mathbf{b}
b，使得它在两个不同基
{
a
1
,
a
2
,
a
3
}
\{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3\}
{a1,a2,a3} 和
{
β
1
,
β
2
,
β
3
}
\{\mathbf{β}_1, \mathbf{β}_2, \mathbf{β}_3\}
{β1,β2,β3} 下的坐标相同。设
b
\mathbf{b}
b 在这两个基下的坐标为
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
(x_1, x_2, x_3)
(x1,x2,x3)，即：
b
=
x
1
a
1
+
x
2
a
2
+
x
3
a
3
\mathbf{b} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3
b=x1a1+x2a2+x3a3
b
=
x
1
β
1
+
x
2
β
2
+
x
3
β
3
\mathbf{b} = x_1\mathbf{β}_1 + x_2\mathbf{β}_2 + x_3\mathbf{β}_3
b=x1β1+x2β2+x3β3
两式相减，得到
x
1
(
a
1
−
β
1
)
+
x
2
(
a
2
−
β
2
)
+
x
3
(
a
3
−
β
3
)
=
0
x_1(\mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1) + x_2(\mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2) + x_3(\mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3) = 0
x1(a1−β1)+x2(a2−β2)+x3(a3−β3)=0
为了满足上述等式，并且因为
b
\mathbf{b}
b 是非零向量，所以
x
1
,
x
2
,
x
3
x_1, x_2, x_3
x1,x2,x3 至少有一个不为零。这表明
a
1
−
β
1
\mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1
a1−β1，
a
2
−
β
2
\mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2
a2−β2，
a
3
−
β
3
\mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3
a3−β3 必须是线性相关的。
解齐次方程组
(
a
1
−
β
1
a
2
−
β
2
a
3
−
β
3
)
(
x
1
x
2
x
3
)
=
(
0
0
0
)
\begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 - \mathbf{β}_1 & \mathbf{a}_2 - \mathbf{β}_2 & \mathbf{a}_3 - \mathbf{β}_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
(a1−β1a2−β2a3−β3)
x1x2x3
=
000
得解坐标
x
1
,
x
2
,
x
3
x_1, x_2, x_3
x1,x2,x3，从而得到向量
b
\mathbf{b}
b：
b
=
x
1
a
1
+
x
2
a
2
+
x
3
a
3
\mathbf{b} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + x_3\mathbf{a}_3
b=x1a1+x2a2+x3a3
8.2 过渡矩阵
8.3 坐标变换
9 特征值特征向量
注意：方程组可以有零解，但特征向量决不能是零向量！
注意：方程组可以有零解，但特征向量决不能是零向量！
注意：方程组可以有零解，但特征向量决不能是零向量！
A
∗
、
A
k
(
k
≠
−
1
)
的特征向量不一定是
A
的特征向量
\boldsymbol{A^*}、\boldsymbol{A^k}(k≠-1)的特征向量不一定是\boldsymbol{A}的特征向量
A∗、Ak(k=−1)的特征向量不一定是A的特征向量
A
−
1
、
k
A
(
k
≠
0
)
的特征向量一定是
A
的特征向量
\boldsymbol{A^{-1}}、\boldsymbol{kA}(k≠0)的特征向量一定是\boldsymbol{A}的特征向量
A−1、kA(k=0)的特征向量一定是A的特征向量
| 矩阵 | 特征值 | 对应特征向量 |
|---|---|---|
| A \boldsymbol{A} A | λ \boldsymbol{λ} λ | α \boldsymbol{α} α |
| A T \boldsymbol{A^T} AT | λ \boldsymbol{λ} λ | 重新计算 \boldsymbol{重新计算} 重新计算 |
| 将 A 对称化得到 B = A + A T 2 \boldsymbol{将A对称化得到B=\frac{A+A^T}{2}} 将A对称化得到B=2A+AT | 重新计算 \boldsymbol{重新计算} 重新计算 | 重新计算 \boldsymbol{重新计算} 重新计算 |
| k A \boldsymbol{kA} kA | k λ \boldsymbol{kλ} kλ | α \boldsymbol{α} α |
| A k \boldsymbol{A^k} Ak | λ k \boldsymbol{λ^k} λk | α \boldsymbol{α} α |
| f ( A ) \boldsymbol{f(A)} f(A) | f ( λ ) \boldsymbol{f(λ)} f(λ) | α \boldsymbol{α} α |
| A − 1 \boldsymbol{A^{-1}} A−1 | 1 λ \boldsymbol{\frac{1}{λ}} λ1 | α \boldsymbol{α} α |
| A ∗ \boldsymbol{A^*} A∗ | ∣ A ∣ λ \boldsymbol{\frac{|A|}{λ}} λ∣A∣ | α \boldsymbol{α} α |
| P − 1 A P = B \boldsymbol{P^{-1}AP=B} P−1AP=B | λ \boldsymbol{λ} λ | P − 1 α \boldsymbol{P^{-1}α} P−1α |
| P − 1 f ( A ) P = f ( B ) \boldsymbol{P^{-1}f(A)P=f(B)} P−1f(A)P=f(B) | f ( λ ) \boldsymbol{f(λ)} f(λ) | P − 1 α \boldsymbol{P^{-1}α} P−1α |
9.1 施密特正交化
9.2 用特征值和特征向量求A
10 相似
10.1 相似的五个性质
10.2 相似的结论
10.3 相似对角化
11 实对称矩阵（必能相似对角化）
如果矩阵
A
A
A 不是实对称矩阵，则不同特征值对应的特征向量不一定相互正交。
12 正交矩阵
13 二次型
13.1 惯性定理
13.2 配方法
13.3 正交变换法
13.3.1 常规计算
13.3.2 反求参数，A或（f）
13.3.3 最值问题
13.3.4 几何应用
二次曲面 f = x T A x = 1 f=x^TAx=1 f=xTAx=1的类型
| λ 1 , λ 2 , , λ 3 的符号 λ_1,λ_2,,λ_3的符号 λ1,λ2,,λ3的符号 | f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 f(x_1,x_2,x_3)=1 f(x1,x2,x3)=1 |
|---|---|
| 3正 | 椭球面 |
| 2正1负 | 单页双曲面 |
| 1正2负 | 双叶双曲面 f = 0 时为锥面 f=0时为锥面 f=0时为锥面 |
| 2正1零 | 椭圆柱面 |
| 1正1负1零 | 双曲柱面 |
14 合同
对于任意的 n × n n \times n n×n 矩阵 A A A 和 B B B，如果存在一个可逆矩阵 C C C 使得：
C T A C = B C^TAC = B CTAC=B
则称矩阵 A A A 和 B B B 是合同矩阵，并且这个变换叫做合同变换。
变换特点
-
行列同步：合同变换中的行变换和列变换可同步进行。
-
不改变矩阵的秩：合同变换保持矩阵的秩。
-
二次型化简：合同变换常用于二次型的化简，使得原矩阵的结构得到简化，同时保持二次型的性质。
14.1 实对称矩阵的合同
两个实对称矩阵 A A A 和 B B B 如果是合同的，即存在一个可逆矩阵 C C C 使得 C T A C = B C^TAC = B CTAC=B，那么它们的惯性指数（正惯性指数、负惯性指数和零惯性指数的个数）必须相同。
15 正定二次型（正定矩阵）
正定矩阵：
- 定义：正定矩阵是一个对称矩阵，并且对于任意非零向量 x \mathbf{x} x，有 x T A x > 0 \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 xTAx>0。
- 性质：正定矩阵的特征值都是正数，通常用于优化问题，表示能量最小化等场景。能量最小化通常与目标函数的最小化相关联。比如在机器学习中的损失函数或在经济学中的成本函数，这些函数的最小值往往代表最佳解。正定矩阵在这种场景中非常重要，因为它对应的二次型函数如果是正定的，那么优化问题的目标函数就有一个唯一的最小值。这个最小值就是能量最小化的解。
二次型矩阵：
- 定义：二次型矩阵是描述二次型函数的对称矩阵，形式为 f = x T A x f= \mathbf{x}^T A \mathbf{x} f=xTAx，其中 A A A 是对称矩阵。
- 性质：二次型矩阵可以是正定的、半正定的、负定的或不定的，具体取决于函数 f f f 的符号情况。
两者的区别：
- 范围不同：正定矩阵是特定类型的二次型矩阵，即二次型矩阵中的一种特殊情况。
- 判别标准：正定矩阵要求对于所有非零向量 x \mathbf{x} x， x T A x \mathbf{x}^T A \mathbf{x} xTAx 必须大于零；而二次型矩阵可以根据其对应二次型的符号不同，具有不同的性质。
16 反对称矩阵
反对称矩阵（也称为斜对称矩阵）是一类特殊的矩阵，其定义是矩阵的转置等于其负矩阵，即对于矩阵 ( A ) 来说，反对称条件为：
A T = − A A^T = -A AT=−A
具体来说，矩阵中的元素满足：
a
i
j
=
−
a
j
i
a_{ij} = -a_{ji}
aij=−aji
这意味着矩阵的对角线元素必须为零（即
a
i
i
=
0
a_{ii} = 0
aii=0），因为
a
i
i
=
−
a
i
i
a_{ii} = -a_{ii}
aii=−aii，这只有在
a
i
i
=
0
a_{ii} = 0
aii=0 时成立。例如：一个
3
×
3
3×3
3×3 的反对称矩阵为：
A
=
(
0
a
12
a
13
−
a
12
0
a
23
−
a
13
−
a
23
0
)
A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0 \end{pmatrix}
A=
0−a12−a13a120−a23a13a230
反对称矩阵的性质：
- 对角线元素为零：反对称矩阵的对角线元素必须为零。
- 特征值性质：反对称矩阵的特征值要么是零，要么是纯虚数（对于实数反对称矩阵）。
- 奇数维度的行列式为零：如果反对称矩阵的维度是奇数，那么其行列式为零。这是因为反对称矩阵在奇数维度下的非零特征值成对出现，每对特征值互为相反数，导致行列式为零。