2024“华为杯”中国研究生数学建模竞赛（E题）深度剖析_数学建模完整过程+详细思路+代码全解析

问题1详细解答过程

(1) 交通流参数统计

数据预处理

1. 数据读取：

   从四个视频观测点提取交通流数据，包括每个时间段内的车流量、车速和车道占用率等。

交通流参数计算
3. 计算流量 (Q)：

$Q(t)=\frac{N(t)}{\Delta t}$

其中 $N(t)$ 是在时间段 $\Delta t$ 内通过某个观测点的车辆数。

4. 计算密度 (K)：

   $K(t)=\frac{N(t)}{L}$

   其中 $L$ 是路段的长度（例如5000m）。

5. 计算速度 (V)：

   $V(t)=\frac{Q(t)}{K(t)}$

6. 时间序列分析：

   • 利用统计方法对流量、密度和速度进行时间序列分析。可以绘制流量、密度和速度随时间变化的曲线图。
   • 识别趋势、季节性、周期性和异常值。

(2) 拥堵模型建立

模型假设

1. 流量和密度关系：

假设车辆流量与密度之间的关系遵循某种线性或非线性模型。例如，使用基本的交通流模型：

$Q=K\cdot V$

其中 $Q$ 是流量，$K$ 是密度，$V$ 是速度。

2. 拥堵阈值：
   • 设定一个密度阈值 $K_{threshold}$，当密度超过该值时，即认为可能发生拥堵。
   • 可设定 $K_{threshold}=0.8\cdot K_{max}$，其中 $K_{max}$ 为饱和密度。

实时预警机制
3. 滑动窗口法：

• 设定一个时窗（例如30分钟），在每个时间点 $t$ 监测从第三点到第四点的交通流参数。

4. 预警机制：

当监测到密度 $K(t)$ 超过 $K_{threshold}$，且这种状态持续超过10分钟，则系统发出预警。

$\text{If }K(t)>K_{threshold}\text{ for }t>t_0+10\text{ minutes, then alert.}$

M/G/1 排队理论应用
5. 模型构建：

• 假设车辆到达过程遵循泊松过程，服务时间服从任意分布，建立M/G/1排队模型。
• 到达率（$\lambda$）和服务率（$\mu\））的定义：

$\lambda =\frac{Q(t)}{L}$

$\mu =\frac{1}{E[S]}$

其中 $E[S]$ 为车辆通过某路段的平均服务时间。

6. 拥堵概率计算：

   • 使用M/G/1排队理论，计算系统的稳态性能指标，如平均排队长度 $L_q$ 和平均等待时间 $W_q$：

   $L_q=\frac{{\lambda }^2\cdot E[S^2]}{2(1-\rho )}$

   $W_q=\frac{L_q}{\lambda }$

   其中 $\rho =\frac{\lambda }{\mu }$ 为系统利用率。

(3) 模型有效性验证

1. 数据对比：

   • 将模型的预警时间点与实际交通数据对比，记录预警的准确性。
   • 统计误报率（False Positive Rate）和漏报率（False Negative Rate）。

2. 指标评估：

   • 使用准确率（Precision）、召回率（Recall）和F1分数进行模型性能评估。
   • 设定预警模型的有效性标准。

python代码实现

import cv2
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

# 读取视频数据并计算交通流参数
def read_video_data(video_file):
    cap = cv2.VideoCapture(video_file)
    vehicle_count = []
    frame_count = 0

    while cap.isOpened():
        ret, frame = cap.read()
        if not ret:
            break
        frame_count += 1
        # 假设每帧处理逻辑已经实现，车辆计数放入vehicle_count中
        # vehicle_count.append(process_frame(frame))  # 需要实现process_frame方法
        
    cap.release()
    return vehicle_count

# 计算流量、密度和速度
def calculate_traffic_parameters(vehicle_counts, road_length, delta_t):
    flow = [count / delta_t for count in vehicle_counts]
    density = [count / road_length for count in vehicle_counts]
    speed = [flow[i] / density[i] if density[i] > 0 else 0 for i in range(len(flow))]
    return flow, density, speed

# 拥堵预警模型
def congestion_warning(density, threshold, duration):
    alert_times = []
    for i in range(len(density)):
        if density[i] > threshold:
            if all(density[j] > threshold for j in range(i, min(i + duration, len(density)))):
                alert_times.append(i)
    return alert_times

# M/G/1排队模型计算
def mg1_queue_model(arrival_rate, service_rate):
    rho = arrival_rate / service_rate
    Lq = (arrival_rate**2) / (2 * service_rate * (1 - rho))
    Wq = Lq / arrival_rate
    return Lq, Wq

# 主函数
def main(video_files, road_length, delta_t, congestion_threshold, warning_duration):
    all_vehicle_counts = []
    
    for video_file in video_files:
        vehicle_counts = read_video_data(video_file)
        all_vehicle_counts.append(vehicle_counts)

    flow, density, speed = zip(*[calculate_traffic_parameters(counts, road_length, delta_t) for counts in all_vehicle_counts])
    
    for d in density:
        alerts = congestion_warning(d, congestion_threshold, warning_duration)
        print(f"Alerts for density: {alerts}")

    # 示例参数
    arrival_rate = np.mean(flow)
    service_rate = 1.0  # 假设的服务率
    Lq, Wq = mg1_queue_model(arrival_rate, service_rate)
    
    print(f"Average queue length (Lq): {Lq}, Average waiting time (Wq): {Wq}")
    
    # 绘制流量、密度和速度变化图
    plt.figure(figsize=(15, 5))
    plt.subplot(1, 3, 1)
    plt.plot(flow)
    plt.title('Traffic Flow')
    plt.subplot(1, 3, 2)
    plt.plot(density)
    plt.title('Traffic Density')
    plt.subplot(1, 3, 3)
    plt.plot(speed)
    plt.title('Traffic Speed')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

# 设置参数并运行主函数
if __name__ == "__main__":
    video_files = ["video1.mp4", "video2.mp4", "video3.mp4", "video4.mp4"]
    road_length = 5000  # 路段长度
    delta_t = 1  # 时间间隔
    congestion_threshold = 0.8  # 拥堵阈值
    warning_duration = 10  # 持续时间
    main(video_files, road_length, delta_t, congestion_threshold, warning_duration)

问题2详细解答过程

1. 模型构建

目标

• 建立一个模型，为高速公路应急车道的临时启用提供决策支持，以最小化交通拥堵的影响，优化通行效率。

决策变量

• 设定决策变量 $x$，表示是否启用应急车道：

  $x=\{\begin{array}{ll}1& \text{启用应急车道}\\ 0& \text{不启用应急车道}\end{array}$

参数定义

• $Q(t)$：在时间 $t$ 的流量（单位：辆/分钟）。
• $K(t)$：在时间 $t$ 的密度（单位：辆/km）。
• $V(t)$：在时间 $t$ 的速度（单位：km/h）。
• $C$：道路的通行能力（单位：辆/分钟）。
• $T_{avg}$：车辆的平均通过时间（单位：分钟）。
• $T_{delay}$：车辆因拥堵造成的平均延迟时间（单位：分钟）。

2. 目标函数

最小化延迟

• 目标是最小化总的延迟时间：

$\text{Minimize }{T}_{total}={\sum }_i{T}_{delay}^i\cdot N_i$

其中 $N_i$ 为在第 $i$ 个时间段内受到拥堵影响的车辆数。

3. 约束条件

流量与密度约束

• 应急车道启用的情况下，流量与密度之间的关系可以表示为：

$Q(t)=K(t)\cdot V(t)$

通行能力约束

• 道路通行能力限制：

$Q(t)\le C$

当 $K(t)$ 超过某个阈值（如 $K_{threshold}$）时，考虑启用应急车道。

延迟计算

• 在不启用应急车道的情况下，延迟时间可以通过流量和通行能力的关系得到：

$T_{delay}=\max \left(0,\frac{K(t)}{C}-1\right)\cdot T_{avg}$

应急车道启用条件

• 设定条件，当流量接近通行能力时，启用应急车道的决策变量可以表示为：

$x=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }Q(t)\ge \alpha C\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

其中 $\alpha$ 为阈值系数（例如 0.8）。

4. 决策支持系统

模型实施

• 结合实时监测的数据（流量、密度、速度），使用线性规划或整数规划技术求解：

  $\text{Find }{x}^{\ast }=\arg \min T_{total}$

反馈机制

• 启用应急车道后，实时监测新流量 $Q_{new}(t)$ 和密度 $K_{new}(t)$，更新延迟时间 $T_{delay}$，根据情况调整决策变量 $x$。

5. 模型有效性评估

效果评估指标

• 通过对比启用应急车道前后的平均延迟时间、交通流量变化等指标，评估模型的有效性：

$\text{Efficiency Gain}=\frac{T_{delay,before}-T_{delay,after}}{T_{delay,before}}$

统计分析

• 收集数据，计算各项指标的均值、方差和变化趋势，分析应急车道启用对缓解交通拥堵的作用。

python代码实现

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import linprog
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设数据
def generate_traffic_data(num_time_slots):
    np.random.seed(0)
    flow = np.random.randint(50, 150, size=num_time_slots)
    density = np.random.uniform(0.1, 0.7, size=num_time_slots)
    return flow, density

# 参数设置
road_length = 5000  # 路段长度（米）
delta_t = 1  # 时间间隔（分钟）
capacity = 100  # 道路通行能力（辆/分钟）
alpha = 0.8  # 启用应急车道的阈值系数
avg_delay_time = 5  # 平均通过时间（分钟）

# 延迟计算
def calculate_delay(flow):
    delay = np.maximum(0, (flow / capacity - 1) * avg_delay_time)
    return delay

# 优化模型
def emergency_lane_decision(flow, density):
    num_time_slots = len(flow)
    total_delay = calculate_delay(flow)

    c = total_delay
    A_ub = np.zeros((num_time_slots, num_time_slots))
    b_ub = np.zeros(num_time_slots)

    for i in range(num_time_slots):
        A_ub[i, i] = 1
        if flow[i] >= alpha * capacity:
            b_ub[i] = 1  # 启用应急车道的约束条件

    bounds = [(0, 1) for _ in range(num_time_slots)]
    
    result = linprog(c, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=bounds, method='highs')
    
    return result

# 主函数
def main():
    num_time_slots = 60  # 假设有60个时间段
    flow, density = generate_traffic_data(num_time_slots)
    
    result = emergency_lane_decision(flow, density)

    print("Optimization Result:")
    if result.success:
        print("Optimal Decision Variables (x):")
        print(result.x)
        print("Total Delay Reduction:", sum(result.x * calculate_delay(flow)))
    else:
        print("Optimization failed.")

    # 可视化
    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.plot(flow, label='Traffic Flow', color='blue')
    plt.plot(density * capacity, label='Density Capacity', color='orange', linestyle='--')
    plt.axhline(y=alpha * capacity, color='red', linestyle='--', label='Emergency Lane Threshold')
    plt.title('Traffic Flow and Density')
    plt.xlabel('Time Slots')
    plt.ylabel('Vehicles')
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    main()

问题3详细解答过程

1. 模型构建

目标

• 设计一个实时决策模型，根据交通流监测数据自动判断是否需要启用应急车道，以最小化交通拥堵和延迟。

决策变量

• 设定决策变量 $x$，表示是否启用应急车道：

  $x=\{\begin{array}{ll}1& \text{启用应急车道}\\ 0& \text{不启用应急车道}\end{array}$

输入参数

• $Q(t)$：在时间 $t$ 的流量（单位：辆/分钟）。
• $K(t)$：在时间 $t$ 的密度（单位：辆/km）。
• $V(t)$：在时间 $t$ 的速度（单位：km/h）。
• $C$：道路的通行能力（单位：辆/分钟）。
• $T_{avg}$：车辆的平均通过时间（单位：分钟）。
• $T_{delay}$：车辆因拥堵造成的平均延迟时间（单位：分钟）。
• $\theta$：拥堵阈值，决定何时启用应急车道（例如，密度超过 $K_{threshold}$）。

2. 目标函数

延迟最小化

• 目标是最小化整体交通延迟：

  $\text{Minimize }{T}_{total}={\sum }_i{T}_{delay}^i\cdot N_i$

其中 $N_i$ 是在第 $i$ 个时间段内受到拥堵影响的车辆数。

3. 约束条件

流量与密度约束

• 在启用应急车道时，流量与密度之间的关系可以表示为：

  $Q(t)=K(t)\cdot V(t)$

通行能力约束

• 道路通行能力限制：

  $Q(t)\le C$

当 $K(t)$ 超过阈值时，考虑启用应急车道。

延迟计算

• 在不启用应急车道的情况下，延迟时间可以通过流量和通行能力的关系得到：

  $T_{delay}=\max \left(0,\frac{K(t)}{C}-1\right)\cdot T_{avg}$

4. 决策规则

实时决策规则

• 设定规则：

1. 监测数据更新：实时获取流量 $Q(t)$、密度 $K(t)$ 和速度 $V(t)$ 的数据。
2. 判断条件：若 $K(t)>K_{threshold}$，并且 $Q(t)\ge \theta C$，则启用应急车道 $x=1$。
3. 延迟监测：在启用应急车道后，持续监测交通流的延迟情况。

5. 模型实施与反馈

动态调整

• 在应急车道启用后，实时更新流量、密度和延迟数据，依据新数据动态调整决策变量 $x$。

模型验证

• 通过历史数据和模拟结果验证模型的有效性。对比启用应急车道前后的延迟、流量和密度，评估决策的合理性：

  $\text{Efficiency Gain}=\frac{T_{delay,before}-T_{delay,after}}{T_{delay,before}}$

python代码实现

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设数据生成函数
def generate_traffic_data(num_time_slots):
    np.random.seed(0)
    flow = np.random.randint(50, 150, size=num_time_slots)
    density = np.random.uniform(0.1, 0.7, size=num_time_slots)
    return flow, density

# 参数设置
road_length = 5000
capacity = 100
avg_delay_time = 5
K_threshold = 0.5
theta = 0.8

# 延迟计算
def calculate_delay(flow):
    delay = np.maximum(0, (flow / capacity - 1) * avg_delay_time)
    return delay

# 决策函数
def emergency_lane_decision(flow, density):
    num_time_slots = len(flow)
    decisions = np.zeros(num_time_slots)

    for t in range(num_time_slots):
        if density[t] > K_threshold and flow[t] >= theta * capacity:
            decisions[t] = 1

    return decisions

# 主函数
def main():
    num_time_slots = 60
    flow, density = generate_traffic_data(num_time_slots)

    decisions = emergency_lane_decision(flow, density)
    delays = calculate_delay(flow)

    print("Flow Data:", flow)
    print("Density Data:", density)
    print("Decisions (1:启用应急车道, 0:不启用):", decisions)
    print("Delays:", delays)

    plt.figure(figsize=(12, 6))
    plt.plot(flow, label='Traffic Flow', color='blue')
    plt.plot(density * capacity, label='Density Capacity', color='orange', linestyle='--')
    plt.axhline(y=K_threshold * capacity, color='red', linestyle='--', label='Density Threshold')
    plt.title('Traffic Flow and Density with Emergency Lane Decisions')
    plt.xlabel('Time Slots')
    plt.ylabel('Vehicles')
    plt.legend()
    plt.show()

if __name__ == "__main__":
    main()