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信息安全数学基础（19）同余式的基本概念及一次同余式

article 2024/11/14 17:43:53

一、同余式概念

同余式是数论中的一个基本概念，用于描述两个数在除以某个数时所得的余数相同的情况。具体地，设m是一个正整数，a和b是两个整数，如果a和b除以m的余数相同，则称a和b模m同余，记作a≡b(mod m)。反之，如果a和b除以m的余数不同，则称a和b模m不同余。

二、同余式基本性质

自反性：对任一整数a，有a≡a(mod m)。
对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
加法性质：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)。
乘法性质：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
幂的性质：若a≡b(mod m)，k为正整数，则ak≡bk(mod m)。
线性组合：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则对于任意整数x,y，有ax+cy≡bx+dy(mod m)。
整除性质：若a≡b(mod m)，且d|m(d是m的因数)，则a≡b(mod d)。
模的乘积：若a≡b(mod m1)且a≡b(mod m2)，且m1,m2互素，则a≡b(mod m1m2)。

同余在数论和代数中有着广泛的应用，特别是在密码学中，如RSA加密算法就依赖于大素数的选取和模幂运算的同余性质。

三、一次同余式定义

形如ax≡b(mod m)的同余方程式称为一次同余式

四、一次同余式定理

一次同余式有解的充要条件为(a,m)|b，其中(a,m)表示a和m的最大公约数。解数d等于(a,m)。

五、解法

求最大公约数：首先求出a和m的最大公约数d，即d=(a,m)。
求解同余式：然后求解(a/d)x≡1(mod m/d)，设其解为x≡x0(mod m/d)。这一步是为了找到x的一个特解。
求解目标同余式：接着求解(a/d)x≡b/d(mod m/d)，由于已知(a/d)x0≡1(mod m/d)，则解为x≡x0b/d(mod m/d)。根据同余的定义，最终解可以表示为x≡x0b/d+tm/d(mod m)，其中t是任意整数。