数学建模 第二讲 - 初等建模

绪论

主要内容:介绍以下几个初等模型，椅子问题、席位分配问题、行走步长问题、实物交换模型。
主要目的:体会数学建模的形式多样性与方法多样性，了解建模思想，着重理解由现实问题向数学问题的转化过程。

一、椅子问题

问题 四条腿长度相等的方椅子放在不平的地面上，四条腿能否同时着地?

问题的转化

结论：如果地面是连续变化的，则四条腿能够同时落地。

思考：
1、方椅子改为长方形椅子，结论如何？
2、地球为球面的一部分时，结论如何？

椅子问题的解决关键是引入变量θ，一是可以用θ表示椅子的位置，二是椅子腿与地面的距离可以表示为θ的连续函数，再利用函数的介值定理使这一问题解决得非常巧妙而简单。

二、席位分配问题

某学校有 200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系 40名，若学生会设 20个代表席位，公平而又简单的分配方法是三个系分别为 10，6，4名代表。但若三个系的人数分别为:103人，63人，34人，仍按比例分配席位，则出现小数。在整数部分 19 席分配完后，剩下的一席按惯例分给余数最大的丙系，于是三个系仍分别有 10，6，4个代表席位。

为避免表决提案时出现 10:10 的情形，决定增加一个席位，于是按照惯例重新分配席位。

令人吃惊的是增加了一个席位，丙系反而少了一席，产生了矛盾，因此丙系提出异议，认为按惯例方法分配席位不“公平”应加以修改。

结论 当(2)式成立时，新增的1个席位应当分给A方;反之，应分配给 B方。

将上述方法推广到 m 方分配席位的情况。记

当增加一个席位时，这一席位应分配给Q;值最大的一方，然后重新计算 Qi(i=1,2,…,m)，直到所有席位分配完为止。此方法称为 Q 值方法。

三、行走步长问题

问题 ：人在匀速行走时步长多大最省劲?设人的体重为 M，腿重为 m，腿长为l，速度为 ū，单位时间步数为 n，步长为。(u = nx)

人行走时所做的功可以认为转化成两部分:一部分抬高人体重心，转化为势能，另一部分转化为两腿运动的动能(上身运动的动能是常数，与步长无关，故不考虑)。下面分别计算之。

四、实物交换问题

实物交换的原则是:互通有无，等价交换。根据双方的需要的迫切程度，“等价”的概念可以不同。

结语

数学建模学习中可能遇到很多种问题假设，思维打开，多做实践，问题自然迎刃而解。希望对看到的小伙伴有帮助，多多交流哦！