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算法的时间复杂度和空间复杂度

article 2025/1/31 8:13:46

1 如何衡量一个算法的好坏

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

2.2 大O的渐进表示法

2.3常见代码举例

2.3.1 Func2 O(N)

2.3.2 Func3 O(M+N)

2.3.3 Func4 O(1)

2.3.4 Func5 strchr O(N)

2.3.5 Func6 冒泡排序 O(N^2)

2.3.6 Func7 二分查找(折半查找）

2.3.7 Func8阶乘递归 O(N)

2.3.8 Func9斐波那契递归 O(N)

3 空间复杂度

3.1 Func1冒泡排序 O(1)

3.2 Func2斐波拉契数列 O(N)

3.3 Func3阶乘函数 O(N)

3.4 Func4 区分不同调用下的空间开辟

3.4.1

3.4.2

3.5 Func5 Fib

4.常见复杂度

1 如何衡量一个算法的好坏

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即 时间复杂度和空间复杂度 。

时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

2.时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度 。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

Func1 执行的基本操作次数：

F(N)= $N^{2}$ +2*N+10

        N = 10 F(N) = 130

        N = 100 F(N) = 10210

        N = 1000 F(N) = 1002010

        实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

2.2 大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

O( $N^{2}$ )

        N = 10 F(N) = 100

        N = 100 F(N) = 10000

        N = 1000 F(N) = 1000000

        通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

2.3常见代码举例

2.3.1 Func2 O(N)

2.3.2 Func3 O(M+N)

2.3.3 Func4 O(1)

2.3.4 Func5 strchr O(N)

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.3.5 Func6 冒泡排序 O(N^2)

最好：O(N);

(数组位置不清楚是否有序，所以至少要对相邻的两个数相互比较一次，至少比较n-1次）

最坏：O(N^2);

（第一轮比较n-1次，第二轮比较n-2次，……比较2次，最后剩最末的一对数，比较1次，等差数列 $\frac{(n-1)(n-2)}{2}\rightarrow O(N^{2})$ ）

2.3.6 Func7 二分查找(折半查找） O（ $log{_{2}}^{N}$ ）

最好：O（1）；

最坏： $log{_{2}}^{N}$ （不好写，在时间复杂度中，只有以2为底的才能简化为logN，其他底数不能简写，有些地方简写为lgN,但是我们不推荐这样写）

2.3.7 Func8阶乘递归 O(N)

基本操作递归了N+1次，时间复杂度为O(N)

2.3.8 Func9斐波那契递归 O(N)

现基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)

2^30 10亿

2^40 10000亿

2^50 1亿亿

3 空间复杂度

        空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用（额外）存储空间大小的量度 。

        空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

        空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因 此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定。