【数学二】极限的计算-夹逼准则、单调数列有界准则

考试要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3、理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则.
7、.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

夹逼准则

定义 若函数$f(x)，g(x)，h(x)$满足一下调剂：
1、$g(x)\le f(x)\le h(x)$
2、${\lim }_{x\to x_0}g(x)={\lim }_{x\to x_0}h(x)=A$
则${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$
TIPS:
1、使用放大缩小建立不等式；
2、验证不等式两头的极限存在且相等；

练习1：${\lim }_{n\to \infty }\frac{2^n}{n!}$=

知识点：
1、当$x\to \infty$ 时$$a^x\gg x^{\beta }\gg {\ln }^{\alpha }x，其中\alpha >0,\beta >0,a>1$$
2、当$n\to \infty$ 时$$n^n\gg n!\gg a^n\gg n^{\beta }\gg {\ln }^{\alpha }n，其中\alpha >0,\beta >0,a>1$$
3、使用夹逼准则

方法1：解：$$\begin{gathered} 当n\to \infty 时，n^n\gg n!\gg a^n\gg n^{\beta }\gg {\ln }^{\alpha }n，其中\alpha >0,\beta >0,a>1 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0 \end{gathered}$$

方法2：解：$$\begin{gathered} 0<\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=2\times 1\times \frac{2}{3}\times \cdots \times \frac{2}{n}<\frac{4}{n} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{4}{n}=0,由夹逼准则知：\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}=0 \end{gathered}$$

练习2：${\lim }_{n\to \infty }(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n+n})$?

解:$$\begin{gathered} 左边界选择最大数值做分母,左边界选择最小数值做分母，分子选择前n项和 \\ \underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1+2+\cdots +n}{n^2+n+n})<\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n+n})<\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1+2+\cdots +n}{n^2+n+1}) \\ \underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1+2+\cdots +n}{n^2+n+n})=\frac{1}{2}，\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1+2+\cdots +n}{n^2+n+1})=\frac{1}{2} \\ 故：\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots +\frac{n}{n^2+n+n})=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

练习3：${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}，其中a_i>0，（i=1,2,\cdots ,m)$?

解： 令 m a x { a i } = a ，则 a n n < a 1 n + a 2 n + ⋯ + a m n n < m ⋅ a n n 则 lim ⁡ n → ∞ a n n = a ， lim ⁡ n → ∞ m ⋅ a n n = a 故： lim ⁡ n → ∞ a 1 n + a 2 n + ⋯ + a m n n = a 令max \{a_i\}=a，则\\ \quad \\ \sqrt[n]{a^n}<\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}<\sqrt[n]{m\cdot a^n}\\ \quad \\ 则\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a^n}=a，\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{m\cdot a^n}=a\\ \quad \\ 故：\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}=a 令max{ai​}=a，则nan ​<na1n​+a2n​+⋯+amn​ ​<nm⋅an ​则n→∞lim​nan ​=a，n→∞lim​nm⋅an ​=a故：n→∞lim​na1n​+a2n​+⋯+amn​ ​=a

练习4：设$x>0$，求极限${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2}{)}^n}$

知识点：${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}=a,，其中a_i>0，（i=1,2,\cdots ,m)$

解： lim ⁡ n → ∞ 1 + x n + ( x 2 2 ) n n = m a x { 1 , x , x 2 2 } = { 1 , 0 < x < 1 x , 1 ≤ x < 2 x 2 2 ， x ≥ 2 \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{1+x^n+(\frac{x^2}{2})^n}=max\{1,x,\frac{x^2}{2}\}\\ \quad \\=\begin{cases} 1,0<x<1 \\ \quad \\ x,1\le x <2 \\ \quad \\ \frac{x^2}{2} ，x\ge 2\end{cases} n→∞lim​n1+xn+(2x2​)n ​=max{1,x,2x2​}=⎩ ⎨ ⎧​1,0<x<1x,1≤x<22x2​，x≥2​

单调数列有界准则

准则 单调有界数列必有极限；单调递增有上界数列必有极限；单调递减有下界数列必有极限；

TIPS:
1、证明数列单调有界（多用数学归纳法）
2、令${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$对给定的关系式两边求极限，解出a。

练习1：设$x_1>0,x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{1}{x_n})，n=1,2,\cdots$求极限${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$?

解:$$\begin{gathered} x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{1}{x_n})=x_{n+1}=\frac{1}{2}((\sqrt{x_n}{)}^2+\frac{1}{(\sqrt{x_n}{)}^2})\ge \frac{1}{2}\cdot \sqrt{x_n}\frac{1}{\sqrt{x_n}}=1，有下边界 \\ {x}_{n+1}-x_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{x_n}-x_n)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-x_n^2}{x_n}\ge 0,即单调递减 \\ 设\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a，a=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})，解得a=\pm 1，由于下界\ge 1，则a=1 \\ 故：\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1 \end{gathered}$$