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计算机的错误计算（一百零四）

article 2025/1/19 7:50:15

摘要计算机的错误计算（二十七）引入了错数概念。本节给出更为严格的证明。

本节主要讨论表达式计算结果中错误有效数字的数量，简称之为错数。因为0不含有有效数字，因此，除非特别说明，否则，本节假设所有表达式的值均不为0；同时，为了便于描述, 本节所有的数值均使用科学记数法来表示。假设 $\tilde{x}=0.s_1s_2...\times10^m$ 为 $x=0.t_1t_2...\times10^m$ 的一个近似值（不妨假设，它们均为正数。下同），其中 $m$ 为它们的指数， $s_i$ 与 $t_i(i\geq1)$ 分别为它们的有效数字， $t_1\neq0, s_1\neq0\,.$ 若

$0.1^{j+1}\leq|\frac{\tilde{x}}{10^m}-\frac{x}{10^m}|<0.1^{j}\,\,\,(j\in\mathbb{N})\,, \quad\quad\quad\quad(1)$

则称 ${\tilde{x}}$ 具有 $j$ 位正确有效数字，或 $\tilde{x}$ 与 $x$ 具有 $j$ 位相同有效数字。比如, 与 2 相比较，1.996与2.002均具有3位正确的有效数字；而对于0.12999来说，0.12999001与0.13000002分别是其包含7位与4位相同有效数字的近似值。另外，除非特别说明，否则，本节的运算均没有进位。

设 $x_0\in I\,,$ 其中 $I$ 是 $R$ 上的一个开区间， $\tilde{x}_0\in I$ 是 $x_0$ 的一个近似值， $y=f(x)$ 在 $I$ 上可导，并且 $f(x_0)\neq f(\tilde{x}_0)\,.$
设 $x_0,\,\tilde{x}_0,\,f(x_0),\,f(\tilde{x}_0)$ 的值为

$\left\{ \begin{array}{ll} x_0=0.t_1t_2...t_kt_{k+1}...\times10^{m_1}, & \\ \tilde{x}_0=0.t_1t_2...t_kt'_{k+1}...\times10^{m_1}, & \end{array} \right. \quad\quad \left\{ \begin{array}{ll} f(x_0)=0.s_1s_2...s_ls_{l+1}...\times10^{m_2}, & \\ f(\tilde{x}_0)=0.s_1s_2...s_ls'_{l+1}...\times10^{m_2}, & \end{array} \right.\quad\quad\quad(2)$

其中 $t_1\neq0,\, s_1\neq0, \,t_{k+1}\neq t'_{k+1},\, s_{l+1}\neq s'_{l+1}\,.$
定理1. 设

$\alpha=|\tilde{x}_0-x_0|\times10^{k-m_1}=|0.t_{k+1}...-0.t'_{k+1}...|\,,\quad\quad\quad(3)$

$\beta=|f(\tilde{x}_0)-f(x_0)|\times10^{l-m_2}=|0.s_{l+1}...-0.s'_{l+1}...|\,. \quad\quad\quad(4)$

若它们的小数点后连续0的个数分别为 $n_1$ 与 $n_2\,,$ 而

$\gamma=\frac{|f(\tilde{x}_0)-f(x_0)|}{|\tilde{x}_0-x_0|}=0.d_1d_2...\times10^{m_0}\,\,(d_1\neq0)\,, \quad\quad\quad(5)$

则

$(k+n_1)=(l+n_2)+M\,.\quad\quad\quad(6)$

其中

$M=\big{(}(m_1-m_2)+m_0\big{)} -one\_or\_zero\,,\quad\quad\quad(7)$

而 $one\_or\_zero\in\{0,1\}\,.$

证明首先, 由已知条件可得

$10^{-n_1-1}\leq\alpha < 10^{-n_1}\,,\quad\quad\quad(8)$

$10^{-n_2-1}\leq\beta < 10^{-n_2}\,,\quad\quad\quad(9)$

$10^{m_0-1}\leq\gamma <10^{m_0}\,.\quad\quad\quad(10)$

然后, 由(10)与(3)、(4)可知

$10^{m_0-1}\leq\frac{\beta\times10^{m_2-l}}{\alpha\times10^{m_1-k}}< 10^{m_0}\,.\quad\quad\quad(11)$

即

$10^{m_0-1-(m_2-l)+(m_1-k)}\leq\frac{\beta}{\alpha}< 10^{m_0-(m_2-l)+(m_1-k)}\,.\quad\quad\quad(12)$

再通过(8)与(9), 将 $\frac{\beta}{\alpha}$ 放大和缩小：

$\left\{ \begin{array}{ll} 10^{m_0-1-(m_2-l)+(m_1-k)}\leq \frac{\beta}{\alpha} < \frac{10^{-n_2}}{10^{-n_1-1}}=10^{-n_2+n_1+1}, & \\ 10^{-n_2-1+n_1}= \frac{10^{-n_2-1}}{10^{-n_1}}< \frac{\beta}{\alpha} < 10^{m_0-(m_2-l)+(m_1-k)}. & \end{array} \right.$

这时，由两个不等式的各自左右两项可得

$\left\{ \begin{array}{ll} {m_0-1-(m_2-l)+(m_1-k)}<{-n_2+n_1+1}, & \\ {-n_2-1+n_1}<{m_0-(m_2-l)+(m_1-k )} .& \end{array} \right.$

即

$\left\{ \begin{array}{ll} (l+n_2)+((m_1-m_2)+m_0)-2<{(k+n_1)}, & \\ (k+n_1)< (l+n_2)+((m_1-m_2)+m_0)+1.& \end{array} \right.$

因此，可推得

$(l+n_2)+((m_1-m_2)+m_0)-2\,\,\\< \,\,(k+n_1)\,\,\\<\,\, (l+n_2)+((m_1-m_2)+m_0)+1.$

由于上述不等式中的每个符号均取整数，因此有

$(l+n_2)+((m_1-m_2)+m_0)-1\,\,\\\leq\,\,(k+n_1)\,\,\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(13)\\\leq\,\, (l+n_2)+((m_1-m_2)+m_0).$

从而定理得证。

根据(1)中相同有效数字定义，显然， $k+n_1$ 为 $\tilde{x}_0$ 与 $x_0$ 相同有效数字个数；而 $l+n_2$ 为 $f(\tilde{x}_0)$ 与 $f(x_0)$ 相同有效数字个数。这样，上述 $M$ 就是 $f(\tilde{x}_0)$ 的错数. 因此, 我们有下面推论：