leetcode-189:轮转数组

给定一个整数数组 nums，将数组中的元素向右轮转 k 个位置，其中 k 是非负数。

示例 1:

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7], k = 3
输出: [5,6,7,1,2,3,4]
解释:
向右轮转 1 步: [7,1,2,3,4,5,6]
向右轮转 2 步: [6,7,1,2,3,4,5]
向右轮转 3 步: [5,6,7,1,2,3,4]

示例 2:

输入：nums = [-1,-100,3,99], k = 2
输出：[3,99,-1,-100]
解释: 
向右轮转 1 步: [99,-1,-100,3]
向右轮转 2 步: [3,99,-1,-100]

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -231 <= nums[i] <= 231 - 1
• 0 <= k <= 105

进阶：

• 尽可能想出更多的解决方案，至少有 三种 不同的方法可以解决这个问题。
• 你可以使用空间复杂度为 O(1) 的 原地 算法解决这个问题吗？

步骤 1: 定义问题性质

给定一个整数数组 nums，需要将数组元素向右轮转 k 个位置。

输入条件：

• nums 的长度在 [1, 10^5] 之间。
• 数组元素的值在 [-2^31, 2^31 - 1] 之间。
• 非负整数 k 的值在 [0, 10^5] 之间。

输出条件：

• 返回一个数组，表示经过 k 次右轮转后的结果。

边界条件：

• k 大于 nums 长度时，实际的轮转次数应为 k % nums.length。
• 如果 k 为 0，或者数组长度为 1，结果应为原数组。

步骤 2: 分解问题

1. 处理 k 的值：计算有效的 k，即 k = k % nums.length。
2. 反转数组：将整个数组反转，这样最后 k 个元素会被放到开头。
3. 反转子数组：分别反转前 k 个元素和后 n-k 个元素，以恢复顺序。

算法设计思路：

• 反转算法是解决此类问题的有效方法，可以达到 O(n) 的时间复杂度和 O(1) 的空间复杂度。
• 复杂度分析：
  • 时间复杂度：O(n)，遍历数组三次。
  • 空间复杂度：O(1)，使用常数额外空间。

数学证明

我们需要证明在给定整数数组 nums 和非负整数 k 的情况下，通过反转算法实现数组向右轮转 k 个位置的正确性。证明包括三个主要步骤。

定义和基础概念

• 设数组长度为 n，初始数组为 nums。
• 向右轮转 k 个位置相当于将数组的最后 k 个元素移动到数组的开头，并将剩余的元素向后移动。

步骤 1: 计算有效的 k

在进行轮转之前，我们计算有效的 k： k′=kmod  nk' = k \mod nk′=kmodn 如果 k' 等于 0，则数组保持不变；否则，我们继续进行反转操作。

步骤 2: 反转整个数组

反转整个数组 nums： reverse(nums,0,n−1)\text{reverse}(nums, 0, n - 1)reverse(nums,0,n−1) 反转后的数组将变成： [last k′ elements,first (n−k′) elements][\text{last } k' \text{ elements}, \text{first } (n-k') \text{ elements}][last k′ elements,first (n−k′) elements]

例如，假设数组为 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]，k' = 3，反转后得到： [7,6,5,4,3,2,1][7, 6, 5, 4, 3, 2, 1][7,6,5,4,3,2,1]

步骤 3: 反转前 k' 个元素和后 n-k' 个元素

1. 反转前 k' 个元素： reverse(nums,0,k′−1)\text{reverse}(nums, 0, k' - 1)reverse(nums,0,k′−1) 此时数组变为： [5,6,7,4,3,2,1][5, 6, 7, 4, 3, 2, 1][5,6,7,4,3,2,1]

2. 反转后 n-k' 个元素： reverse(nums,k′,n−1)\text{reverse}(nums, k', n - 1)reverse(nums,k′,n−1) 最终得到： [5,6,7,1,2,3,4][5, 6, 7, 1, 2, 3, 4][5,6,7,1,2,3,4]

正确性证明

通过上述步骤，我们可以看到：

• 初始反转将所有元素的位置完全改变，确保后续的反转能够有效地将目标元素排列到正确位置。
• 对前 k' 个元素的反转确保了它们的顺序是正确的，因为这部分的元素在轮转后应该在数组的开始。
• 对后 n-k' 个元素的反转同理，保证了这一部分的元素的顺序是正确的。

因此，经过这三个反转操作，最终数组呈现出经过 k 次右轮转的结果。

步骤 3: C++ 代码实现

步骤 4: 启发与优化

通过解决这个问题，可以认识到：

• 反转算法是一种高效的数组处理技术，适用于各种旋转或重新排列问题。
• 有效地利用模运算减少不必要的操作，可以提高程序性能。
• 在处理大规模数据集时，算法的时间和空间复杂度的选择尤为重要，合理设计能显著提升效率。

步骤 5: 实际应用示例

应用场景：物流优化
在物流配送中，运输车辆常常需要根据不同的货物需求顺序重新安排送货顺序。通过应用此算法，可以高效地对送货路线进行调整。例如，当接到突发的送货请求时，系统可以迅速将当前配送路线向右轮转，以优先满足新的订单需求。这一过程可以通过实时数据更新来实现，确保配送效率。

具体实现方法：

1. 将当前送货顺序表示为一个数组。
2. 根据优先级调整需要发送的货物，计算新的送货顺序。
3. 应用上述算法，实现高效轮转，并更新配送系统。

这样，物流公司可以快速响应市场变化，优化配送效率。