物理学基础精解【7】

平面方程

直角坐标及基本运算

• 向量的四则运算

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• 向量的四则运算主要包括加法、减法、数乘（标量乘法）和数量积（点积或内积），但通常不直接称为“除法”，因为向量没有直接的“除法”定义。不过，可以通过一些方式（如使用逆矩阵或叉积的特殊情况）来间接实现类似“除法”的效果，但这些通常不在基础向量四则运算的范畴内。

1. 向量加法

向量加法遵循平行四边形法则或三角形法则。给定两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的和 $\vec{a}+\vec{b}$ 是一个新的向量，其起点与 $\vec{a}$ 的起点相同，终点与从 $\vec{a}$ 的终点出发、沿 $\vec{b}$
方向的向量终点相同。

2. 向量减法

向量减法可以看作是加上一个向量的相反向量。即，$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$。这里，$-\vec{b}$ 是 $\vec{b}$ 的相反向量，其大小与 $\vec{b}$ 相同但方向相反。

3. 数乘（标量乘法）

数乘是将一个向量与一个标量（实数）相乘的运算。给定一个向量 $\vec{a}$ 和一个标量 $k$，数乘的结果 $k\vec{a}$
是一个新的向量，其大小是 $\vec{a}$ 的大小的 $k$ 倍（如果 $k$ 是负数，则方向相反），方向与原向量相同（除非 $k$
为负）。

4. 数量积（点积或内积）

数量积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个标量（实数）。给定两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的数量积
$\vec{a}\cdot \vec{b}$ 定义为 $|\vec{a}|\times |\vec{b}|\times \cos \theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$
之间的夹角。数量积满足交换律、分配律等性质，但不满足结合律（因为结果是一个标量）。

注意

• 向量之间不能直接进行“除法”，但可以通过其他方式（如解线性方程组或使用逆矩阵）来找到与给定向量和结果向量相关的第三个向量。
• 叉积是另一种向量运算，但它不是四则运算之一，并且只在三维空间中定义。叉积的结果是一个向量，其大小与两个原向量的“平行四边形”面积成正比，方向垂直于这两个向量所构成的平面。

1. 向量加法

例子：

设有两个二维向量 $\vec{a}=(2,3)$ 和 $\vec{b}=(4,1)$。

根据向量加法的定义，$\vec{a}+\vec{b}=(2+4,3+1)=(6,4)$。

2. 向量减法

例子：

继续使用上面的向量 $\vec{a}=(2,3)$ 和 $\vec{b}=(4,1)$。

根据向量减法的定义，$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=(2,3)+(-4,-1)=(2-4,3-1)=(-2,2)$。

3. 数乘（标量乘法）

例子：

设有一个二维向量 $\vec{c}=(1,-2)$ 和一个标量 $k=3$。

根据数乘的定义，$k\vec{c}=3(1,-2)=(3\times 1,3\times -2)=(3,-6)$。

4. 数量积（点积或内积）

例子：

设有两个二维向量 $\vec{d}=(2,3)$ 和 $\vec{e}=(1,4)$。

首先，计算这两个向量之间的夹角 $\theta$ 的余弦值（虽然在这个例子中我们不需要真正计算出 $\theta$
的值）。但我们可以直接利用数量积的公式：

$\vec{d}\cdot \vec{e}=2\times 1+3\times 4=2+12=14$

注意，数量积的结果是一个标量，而不是向量。它表示了这两个向量在它们共同方向上的“投影长度”的乘积。

以上就是向量四则运算的例子。希望这些例子能帮助你更好地理解向量的基本运算。

• 数轴是一条直线，直线上的点与数之间为一一对应关系。
• 笛卡尔直角坐标系

1. 平面上的坐标系$xOy$让平面与有充实数对(x,y)建立一一对应关系 。
2. 象限：
   

• 坐标变换

1. 平面上某点可对应于多个不同坐标系和不同的坐标
2. $坐标系x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$由坐标系统$xOy$经过两种运动后得到的$。
   $(1)坐标轴方向不变，轴平移。原点移动：O\to O^{\prime },xOy\to x^{\prime \prime }{O}^{\prime }{Y}^{\prime \prime }$，
   $(2)原点不动，坐标轴旋转，x^{\prime \prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime \prime }\to x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }$
   $(3)上面的两种变换，先后顺序不影响最后结果，可以先旋转再平移，也可反过来，等等$。
3. 轴平移
   $$\begin{gathered} 新坐标x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }，原坐标xOy \\ a、b表示O^{\prime }在原坐标系的位置。 \\ 旧坐标表示新坐标：x^{\prime }=x-a,y^{\prime }=y-b \\ 新坐标表示旧坐标：x=x^{\prime }+a,y=y^{\prime }+b \end{gathered}$$
4. 轴平移旋转
   $$\begin{gathered} 新坐标x^{\prime }{O}^{\prime }{y}^{\prime }，原坐标xOy \\ a、b表示O^{\prime }在原坐标系的位置。 \\ O不动，两轴旋转a角 \\ 旧坐标表示新坐标： \\ {x}^{\prime }=xcosa+ysina \\ {y}^{\prime }=-xsina+ycosa \\ 新坐标表示旧坐标： \\ x=x^{\prime }cosa-y^{\prime }sina \\ y=x^{\prime }sina+y^{\prime }cosa \end{gathered}$$

• 两点距离
  两点间的距离是几何学中的一个基本概念，它表示两个点之间的直线距离。

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在二维平面上，我们通常使用直角坐标系来表示点，其中每个点由一对坐标（x, y）确定。

假设有两个点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$，则这两点间的距离 $d$ 可以用以下公式计算：

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

这个公式来源于勾股定理，即将两点间的线段视为直角三角形的斜边，而 $x_2-x_1$ 和 $y_2-y_1$
则分别是这个直角三角形的两条直角边的长度。

示例

假设有两个点 $A(3,4)$ 和 $B(7,1)$，我们需要计算这两点间的距离。

1. 首先，确定两个点的坐标：$x_1=3,y_1=4,x_2=7,y_2=1$。
2. 然后，将这些值代入距离公式中：

$$d=\sqrt{(7-3{)}^2+(1-4{)}^2}$$

$$d=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}$$

$$d=\sqrt{16+9}$$

$$d=\sqrt{25}$$

$$d=5$$

因此，点 $A(3,4)$ 和点 $B(7,1)$ 之间的距离是 5 个单位长度。

前面是平面2维的公式，n维空间距离公式如下：

在n维空间中，点之间的距离的计算与二维或三维空间中的计算类似，但涉及更多的坐标轴。假设有两个n维空间中的点 $P(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和 $Q(y_1,y_2,\dots ,y_n)$，则这两点间的距离 $d$ 可以用以下公式计算：

$$d=\sqrt{(y_1-x_1{)}^2+(y_2-x_2{)}^2+\cdots +(y_n-x_n{)}^2}$$

这个公式是欧几里得距离（Euclidean distance）在n维空间中的推广。它表示两点之间的直线距离，即连接这两点的线段的长度。

示例

假设有两个3维空间中的点 $P(1,2,3)$ 和 $Q(4,5,6)$，我们需要计算这两点间的距离。

1. 首先，确定两个点的坐标：$x_1=1,x_2=2,x_3=3,y_1=4,y_2=5,y_3=6$。

2. 然后，将这些值代入n维空间中的距离公式中：

$$d=\sqrt{(4-1{)}^2+(5-2{)}^2+(6-3{)}^2}$$

$$d=\sqrt{3^2+3^2+3^2}$$

$$d=\sqrt{9+9+9}$$

$$d=\sqrt{27}$$

$$d=3\sqrt{3}$$

因此，点 $P(1,2,3)$ 和点 $Q(4,5,6)$ 之间的距离是 $3\sqrt{3}$ 个单位长度。

在n维空间中，无论n的值是多少，距离的计算都遵循上述公式，只是需要考虑更多的坐标轴。

线段的定比分点

是数学中的一个重要概念，主要涉及到线段的分割以及分割点与线段两端点之间的关系。以下是对线段的定比分点的详细解释：

一、定义

在直线L上，若有两点P、O，它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，在直线L上存在一个不同于P、O的任一点M，使得PM/MO等于已知常数λ（λ≠-1），则M被称为有向线段PO的定比分点。

二、坐标公式

若设点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，点M分线段P1P2的比为λ，则M的坐标(x,y)可以通过以下公式计算：

• x坐标：x = (x1 + λx2) / (1 + λ)
• y坐标：y = (y1 + λy2) / (1 + λ)

这个公式是线段的定比分点坐标公式，是解决相关问题的基础。

三、特殊情况

1. 中点公式：当λ=1时，上述公式即变为中点坐标公式。即，若M是线段P1P2的中点，则M的坐标(x,y)为[(x1+x2)/2, (y1+y2)/2]。
2. 外分点：当λ<0且λ≠-1时，点M位于线段P1P2的延长线上，此时称M为外分点。
3. 重合情况：当λ=0时，点M与起点P1重合；当λ不存在（或趋于无穷大）时，理论上点M与终点P2重合，但实际上这种情况在定比分点的定义中是不考虑的，因为此时M不再是线段P1P2上的一个“分点”。

四、应用举例

线段的定比分点公式在几何、物理等多个领域都有广泛应用。例如，在物理学中，可以利用定比分点公式求解质点系的重心位置；在几何学中，则可以利用该公式求解线段上的特定分割点等。

五、推导过程（简要）

定比分点公式的推导主要基于向量的坐标运算。设向量P1P = (x-x1, y-y1)，向量PP2 = (x2-x, y2-y)，由于P1P = λPP2，则有(x-x1, y-y1) = λ(x2-x, y2-y)。解这个方程组即可得到定比分点M的坐标公式。

总之，线段的定比分点是数学中的一个重要概念，其坐标公式是解决相关问题的基础。通过理解和掌握定比分点的定义、坐标公式及其应用，可以更好地解决与之相关的几何和物理问题。

两直线的交点和两曲线的交点

两直线的交点

两直线的交点可以通过联立两直线的方程来求解。在二维平面上，两直线通常表示为：

$$L_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$$
$$L_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$$

联立这两个方程，可以消去一个变量（通常是$y$），得到一个关于$x$的方程。解这个方程得到$x$的值，再代入任一直线方程求得$y$的值。这样得到的$(x,y)$就是两直线的交点。

两曲线的交点

两曲线的交点求解类似于两直线的交点，但通常更复杂。需要联立两曲线的方程，并解这个方程组来找到交点。对于非线性曲线，可能需要使用数值方法或图形工具来辅助求解。

例题：求两直线的交点

例题：求直线$L_1:2x+3y-6=0$和直线$L_2:4x-y-5=0$的交点。

解：

1. 联立两直线方程：

$$\{\begin{array}{l}2x+3y-6=0\\ 4x-y-5=0\end{array}$$

2. 从第二个方程中解出$y$：

$$y=4x-5$$

3. 将$y$的表达式代入第一个方程中：

$$2x+3(4x-5)-6=0$$

4. 展开并化简得：

$$2x+12x-15-6=0$$

$$14x-21=0$$

$$x=\frac{3}{2}$$

5. 将$x=\frac{3}{2}$代入任一方程求$y$（这里选择第二个方程）：

$$4\times \frac{3}{2}-y-5=0$$

$$6-y-5=0$$

$$y=1$$

6. 因此，两直线的交点是$\left(\frac{3}{2},1\right)$。

例题：求两曲线的交点

例题：求曲线$C_1:x^2+y^2=4$和曲线$C_2:x^2-y^2=2$的交点。

解：

1. 联立两曲线方程：

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\\ x^2-y^2=2\end{array}$$

2. 将两个方程相加和相减，分别得到：

$$2x^2=6\Rightarrow x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$$

$$2y^2=2\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm 1$$

3. 由于$x$和$y$的取值需要同时满足两个方程，因此我们需要检查所有可能的组合。经过检验，我们发现以下两组解是有效的：

$$\left(\sqrt{3},1\right),\left(-\sqrt{3},-1\right)$$

（注意：其他组合如$(\sqrt{3},-1)$和$(-\sqrt{3},1)$不满足原方程组，因此不是交点。）

4. 因此，两曲线的交点是$\left(\sqrt{3},1\right)$和$\left(-\sqrt{3},-1\right)$。

参考文献

1.《高等数学讲义》
2.文心一言