【传感器技术】【第1章 传感器与检测技术的理论基础,测量系统，测量分类，误差分析，估计和处理】

目录

第1章 传感器与检测技术的理论基础

1.1  测量系统

    2．开环测量系统与闭环测量系统

3、 测量概念

1.2  测量分类

1． 直接测量、 间接测量与组合测量

 2． 等精度测量与不等精度测量

3． 偏差式测量、 零位式测量与微差式测量

1.3  测量系统误差分析基础

1.3.1 测量误差的基本概念

1.3.2 误差表示方法

1、绝对误差

1.3.3 检测仪器的精度等级与容许误差

1. 精度等级

2. 容许误差

1.3.4 误差的分类

1.3.5 有效数字及其计算法则

1.4  测量数据的估计和处理

一、 系统误差的通用处理方法

二、 随机误差的统计处理

 2． 正态分布的随机误差的数字特征

 三、 粗大误差

四、 不等精度测量的权与误差

 五、 测量数据处理中的几个问题

六. 最小二乘法的应用

第1章 传感器与检测技术的理论基础

1.0    测量概论

1.1   测量系统

1.2   测量数据的估计和处理

1.3   测量系统误差分析基础

1.4  测量数据的估计和处理

      检测与转换技术：（自动检测技术和自动转换技术的总称） 是以研究检测系统中的信息提取、信息转换以及信息处理的理论与技术为主要内容的一门应用技术学科。 检测与转换技术研究的主要内容: 对被测物理量的测量原理、测量方法、测量系统和数据处理四个方面。 测量原理： 指用什么样的原理去测量被测量量。

1.1  测量系统

测量系统是传感器与测量仪表、变换装置等的有机组合。 图 1 - 1表示测量系统原理结构框图。

传感器是感受被测量的大小并输出相对应的可用输出信号的器件或装置。

数据传输环节用来传输数据。

当测量系统的几个功能环节独立地分隔开的时候, 则必须由一个地方向另一个地方传输数据, 数据传输环节就是完成这种传输功能。

数据处理环节是将传感器输出信号进行处理和变换。  

如对信号进行放大、运算、线性化、 数-模或模-数转换, 变成另一种参数的信号或变成某种标准化的统一信号等, 使其输出信号便于显示、记录,  既可用于自动控制系统, 也可与计算机系统联接, 以便对测量信号进行信息处理。

数据显示环节将被测量信息变成人感官能接受的形式, 以完成监视、 控制或分析的目的。测量结果可以采用模拟显示, 也可采用数字显示, 也可以由记录装置进行自动记录或由打印机将数据打印出来。

    2．开环测量系统与闭环测量系统

（1） 开环测量系统开环测量系统全部信息变换只沿着一个方向进行, 如图 1 - 2 所示。

其中x为输入量, y为输出量, k1、 k2、 k3为各个环节的传递系数。 输入、输出关系为   y=k1k2k3x

   采用开环方式构成的测量系统, 结构较简单, 但各环节特性的变化都会造成测量误差。           

  （2） 闭环测量系统：有两个通道, 一为正向通道, 二为反馈通道, 其结构如图 1 - 3 所示。

其中Δx为正向通道的输入量, β为反馈环节的传递系数, 正向通道的总传递系数k=k2k3。 由图 1 - 3可知:

显然, 这时整个系统的输入输出关系由反馈环节的特性决定, 放大器等环节特性的变化不会造成测量误差, 或者说造成的误差很小。

 根据以上分析可知, 在构成测量系统时, 应将开环系统与闭环系统巧妙地组合在一起加以应用, 才能达到所期望的目的。

3、 测量概念

 测量是以确定量值为目的的一系列操作。 所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较, 确定被测量对标准量的倍数。 它可由下式表示:

 式中 ：  x——被测量值;             u——标准量, 即测量单位;                 n——比值（纯数）, 含有测量误差。

由测量所获得的被测的量值叫测量结果。测量结果可用一定的数值表示, 也可以用一条曲线或某种图形表示。

测量结果应包括：比值、测量单位、误差部分。

选择其中适当的参数作为测量信号

例如热电偶温度传感器的工作参数是热电偶的电势, 差压流量传感器中的孔板工作参数是差压ΔP。

测量过程：传感器从被测对象获取被测量的信息, 建立起测量信号, 经过变换、传输、处理, 获得被测量的值。

1.2  测量分类

实现被测量与标准量比较得出比值的方法, 称为测量方法。 针对不同测量任务进行具体分析以找出切实可行的测量方法。

测量方法, 从不同角度, 有不同的分类方法

根据获得测量值的方法(测量手段)可分为直接测量、间接测量和组合测量

根据测量的精度因素情况可分为等精度测量与非等精度测量

根据测量方式可分为偏差式测量、零位法测量与微差法测量

根据被测量变化快慢可分为静态测量与动态测量

根据测量敏感元件是否与被测介质接触可分为接触测量与非接触测量

根据测量系统是否向被测对象施加能量可分为主动式测量与被动式测量等。

1． 直接测量、 间接测量与组合测量

 使用仪表或传感器进行测量时, 对仪表读数不需要经过任何运算就能直接表示测量所需要的结果的测量方法称为直接测量。例如,用磁电式电流表测量电路的某一支路电流, 用弹簧管压力表测量压力等, 都属于直接测量。

直接测量的优点是测量过程简单而又迅速, 缺点是测量精度不高。

先对与测量有确定函数关系的几个量进行测量, 将被测量结果代入函数关系式, 经过计算得到所需要的结果, 这种测量称为间接测量。间接测量测量手续较多, 花费时间较长, 一般用在直接测量不方便或者缺乏直接测量手段的场合。 

 若被测量必须经过求解联立方程组, 才能得到最后结果, 则称这样的测量为组合测量。组合测量是一种特殊的精密测量方法, 操作手续复杂, 花费时间长, 多用于科学实验或特殊场合。    

 2． 等精度测量与不等精度测量

  用相同仪表与测量方法对同一被测量进行多次重复测量, 称为等精度测量。

   用不同精度的仪表或不同的测量方法, 或在环境条件相差很大时对同一被测量进行多次重复测量称为非等精度测量。

3． 偏差式测量、 零位式测量与微差式测量

    用仪表指针的位移（即偏差）决定被测量的量值, 这种测量方法称为偏差式测量。应用这种方法测量时, 仪表刻度事先用标准器具标定。 在测量时, 输入被测量, 按照仪表指针在标尺上的示值, 决定被测量的数值。这种方法测量过程比较简单、 迅速, 但测量结果精度较低。（电磁式电流表）

用指零仪表的零位指示检测测量系统的平衡状态, 在测量系统平衡时, 用已知的标准量决定被测量的量值, 这种测量方法称为零位式测量。

在测量时, 已知标准量直接与被测量相比较, 已知量应连续可调, 指零仪表指零时, 被测量与已知标准量相等。 例如天平、电位差计等。零位式测量的优点是可以获得比较高的测量精度, 但测量过程比较复杂, 费时较长, 不适用于测量迅速变化的信号。 

   微差式测量是综合了偏差式测量与零位式测量的优点而提出的一种测量方法。它将被测量与已知的标准量相比较, 取得差值后, 再用偏差法测得此差值。应用这种方法测量时, 不需要调整标准量, 而只需测量两者的差值。设: N为标准量, x为被测量, Δ为二者之差, 则x=N+Δ。由于N是标准量, 其误差很小, 且ΔN, 因此可选用高灵敏度的偏差式仪表测量Δ, 即使测量Δ的精度较低, 但因Δx, 故总的测量精度仍很高。

 微差式测量的优点是反应快, 而且测量精度高, 特别适用于在线控制参数的测量。

1.3  测量系统误差分析基础

      测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但由于种种原因, 例如, 传感器本身性能不十分优良, 测量方法不十分完善, 外界干扰的影响等, 都会造成被测参数的测量值与真实值不一致, 两者不一致程度用测量误差表示。  

误差基本理论（周杏鹏：现代检测技术）

1.3.1 测量误差的基本概念

1、定义：

测量结果与其真值的差异

定性概念，定量表示

Δx – 测量误差  x – 测量结果  x0 – 真值

2、真值：被测量的客观真实值

理论真值：理论上存在、计算推导出来  如：三角形内角和

约定真值：国际上公认的最高基准值

如：基准米  1m=1 650 763.73 λ

(氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长)

1S= 9,192,631,770T

(铯133原子基态的两个能阶之间跃迁所辐射的电磁波的周期T )

相对真值：

利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值

标准仪器的测量标准差< 1/3 –1/10测量系统标准差。

3、标称值

计量或测量器具上的标注的量值。

如砝码：1g,10g.精密电阻标注100

4、示值（测量值或读数）

检测仪器（或系统）指示或显示的数值。 由于传感器、信号调理、AD都存在误差，所以示值与实际值有偏差。

5、测量误差

用器具进行测量时，测量的数值与被测量的实际值之间的差值。

6、 测量误差的来源

(1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差

近似：理论分析与实际情况差异

假设：假设：测量方法存在错误或不足，如：采样频率低、测量基准错误

(2) 装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差

机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程

电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声

(3) 环境误差：测量环境、条件引起的测量误差

空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动，

(4) 使用误差：读数误差、违规操作、

1.3.2 误差表示方法

1、绝对误差

检测系统的测量值（示值）X与被测量真值Xo之间的代数差值ΔX.

ΔX=X-Xo

2、相对误差

检测系统测量值的绝对误差ΔX与被测量真值的比值δ

例如：用电压表测量电压为15.6V的电压，电压表读数为15.3V。

则：绝对误差为15.3-15.6=-0.3V 相对误差为-0.3/15.6=-1.92%

3、引用误差

检测系统测量值的绝对误差ΔX与系统量程L的比值。（ү）

4、最大引用误差

在规定条件，被测量平稳增加或减少时，在检测系统全量程所有测量值引用误差的最大者。

上述例题，测电压时采用的是20V的档位，则引用误差为：

-0.3/20=-1.5%

1.3.3 检测仪器的精度等级与容许误差

1. 精度等级

    工业检测仪器(系统)常以最大引用误差作为判断精度等级的尺度。人为规定：取最大引用误差百分数的分子作为检测仪器(系统)精度等级的标志，也即用最大引用误差去掉正负号和百分号后的数字来表示精度等级，精度等级用符号G表示.

为统一和方便使用，国家标准GB 776—76《测量指仪表通用技术条件》规定，测量指示仪表的精度等级G分为:0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0七个等级，这也是工业检测仪器(系统)常用的精度等级。

检测仪器(系统)的精度等级出生产厂商根据其最大引用误差的大小并以选大不选小的原则就近套用上述精度等级得到。

例如:量程为0~1000V的数字电压表,如果其整个量程最大误差为1.05V,则:

所以,该仪表的精确度等级G为:0.2级

等级选择原则:

仪表的精度等级是反映仪表性能的最主要的质量指标，它充分地说明了仪表的测量精度，可较好地用于评估检测仪表在正常工作时(单次)测量的测量误差范围。

2. 容许误差

容许误差是指检测仪器在规定使用条件下可能产生的最大误差范围，它也是衡量检测仪器的最重要的质量指标之一。 检测仪器的准确度、稳定度等指标都可用容许误差来表征。

按照部颁标准SJ943—82《电子仪器误差的一般规定》的规定，容许误差可用工作误差、固有误差、影响误差、稳定性误差来描述，通常直接用绝对误差表示。

(1)工作误差     工作误差是指检测仪器(系统)在规定工作条件下正常工作时可能产生的最大误差。即当仪器外部环境的各种影响、仪器内部的工作状况及被测对象状态为任意的组合时，仪器工作所能产生误差的最大值。

这种表示方式的优点是使用方便，可利用工作误差直接估计测量结果误差的最大范围。

缺点是由于工作误差是在最不利组合下给出的，而在实际测量中环境条件、仪表本身和被测对象所有最不利组合出现的概率很小，所以，用工作误差来估计平时某次正常测量误差，往往偏大。

 (2)固有误差     当环境和各种试验条件均处于基准条件下时,检测仪器所反映的误差称固有误差。由于基准条件比较严格，所以，固有误差可以比较准确地反映仪器本身所固有的技术性能。

(3)影响误差    影响误差是指仅有一个参量处在检测仪器(系统)规定工作范围内，而其他所有参量均处在基准条件时检测仪器(系统)所具有的误差，如环境温度变化产生的误差、供电电压波动产生的误差等。影响误差可用于分析检测仪器(系统)误差的主要构成，以及寻找减小和降低仪器误差的主要方向。

(4)稳定性误差   稳定性误差是指仪表工作条件保持不变的情况下，在规定的时间内，检测仪器(系统)各测量值与其标称值间的最大偏差。用稳定性误差估计平时某次正常测量误差，通常比实际测量误差偏小。     工程上．常用工作误差和稳定性误差结合来估计平时测量误差和测量误差范围，评价检测仪器在正常使用时所具有的实际精度。

例: 被测电压实际值约为21.7v，现有四种电压表:

1.5级、量程为0~30 V的A表;     1.5级、量程为0~50 V的B表;     1.0级、量程为0~50V的C表；   0.2级、量程为0~360v的D表。

请问选用哪种规格的电压表进行测量产生的测量误差较小?

解1 :用四种表进行测量可能产生的最大绝对误差如下:

四者比较，通常选用A表进行测量所产生的测量误差较小。

由上例不难看出，检测仪表产生的测量误差不仅与所选仪表精度等级G有关，而且与所选仪表的量程有关。通常量程L和测量值X相差愈小，测量准确度较高。所以，在选择仪表时，应选择测量值尽可能接近的仪表量程。

1.3.4 误差的分类

1. 根据测量数据中的误差所呈现的规律(性质), 将误差分为三种, 即系统误差、随机误差和粗大误差。这种分类方法便于测量数据处理。

（1） 系统误差对同一被测量进行多次重复测量时, 如果误差按照一定的规律出现, 则把这种误差称为系统误差。例如, 标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。

系统误差产生的原因：测量所用的工具(仪器、量具等)本身性能不完善或安装、布置、调整不当而产生的误差；在测量过程中因温度、湿度、气压、电磁干扰等环境条件发生变化所产生的误差；因测量方法不完善、或者测量所依据的理论本身不完善等原因所产生的误差；因操作人员视读方式不当造成的读数误差等。

总之，系统误差的特征是测量误差出现的有规律性和产生原因的可知性。系统误差产生的原因和变化规律一般可通过实验和分析查出。因此，系统误差可被设法确定并消除。

随机误差主要是由于检测仪器或测量过程中某些未知或无法控制的随机因素(如仪器的某些元器件性能不稳定，外界温度、湿度变化，空中电磁波扰动，电网的畸变与波动等)综合作用的结果。随机误差的变化通常难以预测因此也无法通过实验方法确定、修正和消除。但是通过足够多的测量比较可以发现随机误差服从某种统计规律。 通常用精密度表征随机误差的大小。精密度越低随机误差越大.

（3） 粗大误差:明显偏离测量结果的误差称为粗大误差, 又称疏忽误差。是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化而引起的。对于粗大误差, 首先应设法判断是否存在, 然后将其剔除。

精度是反映检测仪器的综合指标，是测量结果与真值接近的程度

1、精密度

计量的精密度(precision of measurement)，系指在相同条件下，对被测量进行多次反复测量，测得值之间的一致(符合)程度。从测量误差的角度来说，精密度所反映的是测得值的随机误差。精密度高，随机误差小。也就是说，测得值的随机误差小，不一定其系统误差亦小。

2．准确度

计量的准确度(correctness of measurement)，系指被测量的测得值与其“真值”的接近程度。从测量误差的角度来说，准确度所反映的是测得值的系统误差。准确度高，不一定精密度高。也就是说，测得值的系统误差小，不一定其随机误差亦小。

3．精确度

计量的精确度 (accuracy of measurement)，指被测量的测得值之间的一致程度以及与其“真值”的接近程度，即是精密度和准确度的综合概念。从测量误差的角度来说，精确度是测得值的随机误差和系统误差的综合反映。

2. 按被测参量与时间的关系分类     按被测参量与时间的关系，测量误差可分为静态误差和动态误差两大类。 习惯上，将被测参量不随时间变化时所测得的误差称为静态误差； 在被测量随时间变化过程中进行测量时所产生的附加误差称为动态误差。动态误差是由于 检测系统对输入信号变化响应上的滞后或输入信号中不同频率成分通过检测系统时受到不同的衰减和延迟而造成的误差。动态误差的大小为动态时测量和静态时测量所得误差值的差值。

3、基本误差和附加误差

从使用角度可分为基本误差和附加差.

基本误差是指仪表在规定的标准条件下具有的误差.

例如:仪表是在电源电压220 v±5v、电网频率50Hz±2、环境温度20℃±5℃、大气压力0.1MPa,湿度85%的条件下标定的,如果这台仪表今后也在这个条件下工作，则仪表所具有的误差为基本误差。如温度计误差0.1度

当仪表的使用条件偏离额定条件时，就会出现附加误差.

4 误差常用的术语

(1)零点误差 零点误差的定义是当输入为0％时,输出的误差.

(2)量程误差 程误差的定义是仪表输出的理想量程与实测量程之差.

习题

1、什么是系统误差、随机误差、粗大误差？

2、什么是绝对误差、相对误差、引用误差？

3、什么是真值、约定真值和相对真值？

4、某同学用量程200v的电压表，测量90v的电压时，示值为98.8v，求该测量值的绝对误差、相对误差和引用误差？

5.书上7，8

1.3.5 有效数字及其计算法则

可以从两方面来理解：

1）在实验与检定工作中，直接从仪器中读得的读数是有效数字，意思是说这些数字是能保证精确度的，是有意义的，这是从测量误差来理解的有效数字的含义。 也可从数字化整来理解有效数字的含义。化整以后的数字称为有效数字。

表示测量结果的数值，其位数应按测量精度书写，这样所记的数字称为“有效数字”。

1、在测量和数字计算中，确定该用几位数字代表测量结果或计算结果，是很重要。 那种认为在一个数值中小数点后面的位数越多，或计算中保留位数越多，其精度就越高。这是错误的。

（1）小数点的位置不是决定精度的标准，仅与所用单位的大小有关。

（2）写出测量或计算结果时，应该只有末位数字是可以不确定的，其余位的数字都是正确的。

2、有效数字及其表示方法 有效数字：在表示测量值的数值中，全部有意义的数字。

如：2.3mm,2.4mm,2.5mm

“0”可以是有效数字也可以不是。 如：0.0032m 不是，而30.050是

3、有效数字的化整规则

在数据处理中： （1）若被舍去的第m位后的全部数字小于m位的单位的一半，则m位不变。 12.345化为12.3

（2）若被舍去的第m位后的全部数字大于m位的单位的一半，则m位加1。 12.353化为12.4

（3）若被舍去的第m位后的全部数字等于m位的单位的一半，则应按照化整为偶数的原则处理。 12.350 化为12.4；23.850化为23.8

4、有效数字的运算规则

（1）加法、减法运算规则 当多位不同精度的数值相加减时，运算前应先将精度高的数据化整，化整的结果应比精确度最低的数据的精确度高1位。

运算结果也应化整，其有效数字位数由参加运算的精度最低的数据的精度确定。

如：561.32,491.6,86.954,3.9462 化整为：561.32,491.6,86.95,3.95 561.32+491.6+86.95+3.95=1143.82 化整为：1143.8

（2）乘、除法运算规则

当求多个精度不同的数值的乘积或商时，运算前应将精确度高的数据化整，化整的结果应比精确度最低的数据的精确度高1位。

运算结果也应化整，其有效数字位数比原有效位数最少的数据位数相同。

1.4  测量数据的估计和处理

   从工程测量实践可知, 测量数据中含有系统误差和随机误差, 有时还会含有粗大误差。它们的性质不同, 对测量结果的影响及处理方法也不同。

测量数据进行处理, 首先判断测量数据中是否含有粗大误差, 如有, 则必须加以剔除。

再看数据中是否存在系统误差, 对系统误差可设法消除或加以修正。 排除系统误差和粗大误差的测量数据，利用随机误差性质进行处理。综合整理以得出合乎科学性的结果。

一、 系统误差的通用处理方法

1. 从误差根源上消除系统误差        

系统误差是在一定的测量条件下, 测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。系统误差不具有抵偿性。

有效地找出系统误差的根源是减小或消除的关键，如何查找其根源, 需要对测量设备、 测量对象和测量系统作全面分析, 明确其中有无产生明显系统误差的因素, 并采取相应措施予以修正或消除。

由于具体条件不同, 在分析查找误差根源时并无一成不变的方法, 这与测量者的经验、水平以及测量技术的发展密切相关。但我们可以从以下几个方面进行分析考虑。

① 所用传感器、 测量仪表或组成元件是否准确可靠。 比如传感器或仪表灵敏度不足, 仪表刻度不准确, 变换器、放大器等性能不太优良, 由这些引起的误差是常见的误差。  

② 测量方法是否完善。 如用电压表测量电压, 电压表的内阻对测量结果有影响。

 ③ 传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。例如: 没有调好仪表水平位置, 安装时仪表指针偏心等都会引起误差。

④ 传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。 例如环境、 温度、 湿度、气压等的变化也会引起误差。

⑤ 测量者的操作是否正确。 例如读数时的视差、 视力疲劳等都会引起系统误差。

 2. 系统误差的发现与判别

        发现系统误差一般比较困难, 下面只介绍几种发现系统误差的一般方法。

（1） 实验对比法这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量,有标准件法和标准仪器法  用仪表对标准件进行多次测量，测量值与标准值的差，就是就是仪表的系统误差。

用精度等级更高一级的测量仪表测量，高精度表测量结果为相对真值，从被检表与相对真值的差可以发现系统误差。

（2）理论分析及计算

因测量原理或使用方法不当引入系统误差时，可以通过理论分析 如：电压表内阻引起的误差，热电偶低端温度引起的误差。

（3） 残余误差观察法。通过观察和分析测量数据及各测量值与全部测量数据的平均值之差（残差），残余误差的大小和符号的变化规律, 直接可以判断有无系统误差。  

（4） 准则检查法已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差。不过这些准则都有一定的适用范围。

马利科夫准则：适用于判断、发现和确定线性系统误差。

一组测量值X1,X2….Xn顺序排列，其相应残差v1,v2….vn

 Vi=Xi-X

是将残余误差前后各半分两组, 若“Σvi前”与“Σvi后”之差明显不为零, 则可能含有线性系统误差。

为0，不含线性误差；明显不为0，有线性误差。

阿贝-赫尔默特准则：适合判断、发现和确定周期性误差

  3. 系统误差的消除      

（1） 在测量结果中进行修正对于已知的系统误差, 可以用修正值对测量结果进行修正; 对于变值系统误差, 设法找出误差的变化规律, 用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正; 对未知系统误差, 则按随机误差进行处理。      

（2）消除系统误差的根源在测量之前, 仔细检查仪表, 正确调整和安装; 防止外界干扰影响; 选好观测位置， 消除视差; 选择环境条件比较稳定时进行读数等。      

（3）在测量系统中采用补偿措施找出系统误差的规律, 在测量过程中自动消除系统误差。如用热电偶测量温度时, 热电偶参考端温度变化会引起系统误差, 消除此误差的办法之一是在热电偶回路中加一个冷端补偿器, 从而进行自动补偿。

（4） 实时反馈修正由于自动化测量技术及微机的应用, 可用实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差。当查明某种误差因素的变化对测量结果有明显的复杂影响时, 应尽可能找出其影响测量结果的函数关系或近似的函数关系。在测量过程中, 用传感器将这些误差因素的变化转换成某种物理量形式（一般为电量）, 及时按照其函数关系, 通过计算机算出影响测量结果的误差值, 对测量结果作实时的自动修正。

例题：用电压表测量电压，示值为156V，电压表没有输入电压时，显示电压为0.5V，问测得的电压为多少？

0.5V可以认为是系统误差。 测量电压为：156-0.5=155.5V

二、 随机误差的统计处理

      在测量中, 当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时, 如果测量数据仍有不稳定的现象, 说明存在随机误差。在等精度测量情况下, 得n个测量值x1,x2,…,xn, 设只含有随机误差δ1, δ2，…，δn。这组测量值或随机误差都是随机事件, 可以用概率数理统计的方法来研究。

随机误差的处理任务是从随机数据中求出最接近真值的值（或称真值的最佳估计值）, 对数据精密度的高低（或称可信赖的程度）进行评定并给出测量结果。

1、随机误差的分布规律

n个测量值x1,x2,…,xn, 设只含有随机误差δ1, δ2，…，δn

  其中δi=Xi-Xo

Xo为真值

随机误差特点：

1）有界性能：随机误差的绝对值不超过一定的界限

2）单峰性：绝对值小的随机误差比大的概率大。

3）对称性：随机误差等值而符号相反的出现的概率相等。

4）抵偿性：等精度重复测量的次数为无穷大时，随机误差的代数和为零。

在大多数情况下, 当测量次数足够多时, 测量过程中产生的误差服从正态分布规律。分布密度函数为

 y——概率密度;      x——测量值（随机变量）;  σ——均方根偏差（标准误差）;   L——真值（随机变量x的数学期望）;     δ——随机误差（随机变量）, δ=x-L。

正态分布方程式的关系曲线为一条钟形的曲线(如图 1 - 4 所示), 说明随机变量在x=L或δ=0处的附近区域内具有最大概率。

均匀分布

随机误差有时是非正态的均匀分布。在某一区域内随机误差出现的概率处处相等，在区域外概率为零。

 2． 正态分布的随机误差的数字特征

   在实际测量时, 真值L不可能得到。但如果随机误差服从正态分布, 则算术平均值处随机误差的概率密度最大。对被测量进行等精度的n次测量, 得n个测量值x1,x2,…,xn, 它们的算术平均值为

   算术平均值是诸测量值中最可信赖的, 它可以作为等精度多次测量的结果。

    上述的算术平均值是反映随机误差的分布中心, 而均方根偏差则反映随机误差的分布范围。均方根偏差愈大, 测量数据的分散范围也愈大，所以均方根偏差σ可以描述测量数据和测量结果的精度。

图 为不同σ下正态分布曲线。 σ 愈小, 分布曲线愈陡峭, 说明随机变量的分散性小, 测量精度高；反之, σ愈大, 分布曲线愈平坦, 随机变量的分散性也大, 则精度也低。

均方根偏差σ可由下式求取:

  xi——第i次测量值。

在实际测量时, 由于真值L是无法确切知道的, 用测量值的算术平均值-代替之, 各测量值与算术平均值差值称为残余误差, 即

      vi=xi-     

   用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差的估计值σs, 即(对于独立的、无系统误差的等精度测量来说，n次测量值有n个自由度，当求平均值时失去一个自由度)

    通常在有限次测量时, 算术平均值不可能等于被测量的真值L, 它也是随机变动的。设对被测量进行m组的“多次测量”, 各组所得的算术平均值 1, 1,…,    m, 围绕真值L有一定的分散性, 也是随机变量。算术平均值      的精度可由算术平均值的均方根偏差      (算术平均值标准差)来评定。 它与σs的关系如下:

  在任意误差区间（a, b）出现的概率为

P(a≤v<b)=

    σ是正态分布的特征参数, 误差区间通常表示成σ的倍数, 如tσ。 由于随机误差分布对称性的特点, 常取对称的区间, 即

  Pa=P(-tσ≤v≤+tσ)=

式中:t——置信系数；          Pa——置信概率；         ±tσ——误差限。

表 1 - 1  给出几个典型的t值及其相应的概率。

表 1 - 1t   值及其相应的概率

置信度：置信区间与置信概率结合起来 随机误差在±tσ范围内出现的概率为P, 则超出的概率称为显著度, 用α表示： 

 α=1-Pa

Pa与α关系见图 1 - 6。

    从表 1 - 1 可知, 当t=±1时, Pa=0.682 7, 即测量结果中随机误差出现在-σ～+σ范围内的概率为68.27%, 而|v|>σ的概率为31.73%。出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%, 因此可以认为绝对值大于3σ的误差是不可能出现的, 通常把这个误差称为极限误差σlim。按照上面分析, 测量结果可表示为

或

    例 1 - 1

有一组测量值（只有随机误差）为237.4、237.2、237.9、237.1、 238.1、 237.5、 237.4、237.6、  237.6、 237.4, 求测量结果 .

解: 将测量值列于表 1 - 2。

测量结果为            

 x=237.52±0.09   (Pa=0.682 7) 或        

x=237.52±3×0.09=237.52±0.27  (Pa=0.997 3)

 三、 粗大误差

  在对重复测量所得一组测量值进行数据处理之前, 首先应将具有粗大误差的可疑数据找出来加以剔除。

  绝对不能凭主观意愿对数据任意进行取舍, 而是要有一定的根据。

  原则就是要看这个可疑值的误差是否仍处于随机误差的范围之内, 是则留, 不是则弃。        

  因此要对测量数据进行必要的检验。        

下面就常用的几种准则介绍如下:

 1. 拉伊达准则（3σ准则）

对于正态分布的等精度测量，其某次测量误差|Xi-X0|大于3σ的可能性仅为0.27%。

绝对值|vi|>3σ时, 则该测量值为可疑值（坏值）, 应剔除。

2. 格拉布斯准则

  以小样本测量数据，以t分布为基础用数理统计方法推导得出的。

当上式满足时，说明有粗大误差，应剔除。

    查出多个可疑测量数据时，不能将它们都作为坏值一并剔除，每次只能舍弃误差最大的那个可疑值。

        以上准则是以数据按正态分布为前提的, 当偏离正态分布, 特别是测量次数很少时, 则判断的可靠性就差。

   因此, 对粗大误差除用剔除准则外, 更重要的是要提高工作人员的技术水平和工作责任心。另外, 要保证测量条件稳定, 防止因环境条件剧烈变化而产生的突变影响。

  例题：有一组等精度无系统误差的独立的测量数据：39.44，39.27，39.94，39.44，38.91，39.69，39.48，40.56，39.78，39.35，39.86，39.71，39.46，40.12，39.39，39.76， 试用上述准则判别粗大误差并舍弃。 并表示测量结果

解： 平均值=634.19/16=39.63 标准偏差=(2.267/15)0.5 =0.388

所以无坏值，即无粗大误差 根据格拉布斯判别系数表可得G(n,a)=2.44*0.388=0.947 第8次为粗大误差去掉

平均值=593.6/15=39.57 标准偏差=(1.357/14)0.5 =0.311

所以无坏值，即无粗大误差 根据格拉布斯判别系数表可得G(n,a)=2.41*0.311=0.75 无粗大误差 平均值偏差=0.311/3.87=0.08 测量结果为：39.57±0.24

习题 一组测量值为：250.8 ，250.7，250 .4, 250.9,250.6,250.9,250.7,250.9,260.8,240.3 求测量结果。

四、 不等精度测量的权与误差

  前面讲述的内容是等精度测量的问题。即多次重复测量得的各个测量值具有相同的精度, 可用同一个均方根偏差σ值来表征, 或者说具有相同的可信赖程度。 

   严格地说来, 绝对的等精度测量是很难保证的, 但对条件差别不大的测量, 一般都当作等精度测量对待, 某些条件的变化, 如测量时温度的波动等, 只作为误差来考虑。 因此, 在一般测量实践中, 基本上都属等精度测量。

  但在科学实验或高精度测量中, 为了提高测量的可靠性和精度, 往往在不同的测量条件下, 用不同的测量仪表, 不同的测量方法, 不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比, 则认为它们是不等精度的测量。

1. “权”的概念  

    在不等精度测量时, 对同一被测量进行m组测量, 得到m组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差, 它们不能同等看待。 精度高的测量列具有较高的可靠性, 将这种可靠性的大小称为“权”。

2. 加权算术平均值

   加权算术平均值不同于一般的算术平均值, 应考虑各测量列的权的情况。 若对同一被测量进行m组不等精度测量, 得到m个测量列的算术平均值1, 2, …, m, 相应各组的权分别为p1,p2,…,pm, 则加权平均值可用下式表示：

 3． 加权算术平均值p的标准误差σ  p

  当进一步计算加权算术平均值  p的标准误差时, 也要考虑各测量列的权的情况, 标准误差σ  p可由下式计算:

 五、 测量数据处理中的几个问题

 1.测量误差的合成

   一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成。 设各环节为x1,x2,…,xn, 系统总的输入输出关系为 y=f(x1,x2,…,xn), 而各部分又都存在测量误差。各局部误差对整个测量系统或传感器测量误差的影响就是误差的合成问题。若已知各环节的误差而求总的误差, 叫做误差的合成; 反之, 总的误差确定后, 要确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值, 这一过程叫做误差的分配。

    由于随机误差和系统误差的规律和特点不同, 误差的合成与分配的处理方法也不同, 下面分别介绍。

 （1） 系统误差的合成由前面可知, 系统总输出与各环节之间的函数关系为

      y=f(x1,x2,…,xn)

   各部分定值系统误差分别为Δx1,Δx2,…,Δxn, 因为系统误差一般均很小, 其误差可用微分来表示, 故其合成表达式为

    实际计算误差时, 是以各环节的定值系统误差Δx1,Δx2,…,Δxn代替上式中的dx1,dx2,…,dxn, 即

式中Δy即合成后的总的定值系统误差。        

（2） 随机误差的合成设测量系统或传感器有n个环节组成, 各部分的均方根偏差为

σx1,σx2，…，σxn, 则随机误差的合成表达式为

若y=f(x1,x2,…,xn)为线性函数, 即 y=a1x1+a2x2+…+anxn

如果a1=a2=…=an=1，则

 (3) 总合成误差设测量系统和传感器的系统误差和随机误差均为相互独立的, 则总的合成误差ε表示为

ε=Δy±σy          

2.测量误差的分配

（1）系统误差的分配 例如利用电桥测电阻见课本P27

当电流表A电流为零时， 电桥平衡，Rx为：

  所以，通常实际测量中，将R3采用标准电阻，R1和R2选择同一性质，并一致性好的电阻，也就是R1和R2误差可以抵消，测量误差只取决于R3的误差，将其采用精度高的标准电阻，使得测量误差大为降低。

六. 最小二乘法的应用

   最小二乘法原理是一数学原理, 它在误差的数据处理中作为一种数据处理手段。 最小二乘法原理就是要获得最可信赖的测量结果, 使各测量值的残余误差平方和为最小。在等精度测量和不等精度测量中, 用算术平均值或加权算术平均值作为多次测量的结果, 因为它们符合最小二乘法原理。最小二乘法在组合测量的数据处理, 实验曲线的拟合及其它多种学科等方面, 均获得了广泛的应用。

曲线拟合

1.直线拟合 一组测量值xi.如:x1=1, y1=3.4;x2=2,y2=3.6; X3=3,y3=4.6; x4=4,y4=6.4 假设这组实验数据的 最佳拟合曲线为: Y=A+BX

2.曲线拟合

计算方法一样

 Rt=R0(1+αt+βt2)  

式中: R0, Rt——分别为铂电阻在温度0 ℃和t ℃时的电阻值;                  

α, β——电阻温度系数。          

      若在不同温度t条件下测得一系列电阻值R, 求电阻温度系数α和β。由于在测量中不可避免地引入误差, 如何求得一组最佳的或最恰当的解, 使Rt=R0(1+αt+βt2)具有最小的误差呢通常的做法是使测量次数n大于所求未知量个数m（n>m）, 采用最小二乘法原理进行计算。          

   为了讨论方便起见, 我们用线性函数通式表示。设X1,X2,…,Xm为待求量, Y1,Y2，…，Yn为直接测量值, 它们相应的函数关系为

   例 ： 铜的电阻值R与温度t之间关系为Rt=R0(1+αt), 在不同温度下, 测定铜电阻的电阻值如下表所示。试估计0℃时的铜电阻电阻值R0和铜电阻的电阻温度系数α。

  解: 列出误差方程:     Rti-R0（1+αt）=vi    (i=1,2,3, …,7) 式中: Ri是在温度ti下测得铜电阻电阻值。 

      对某一物理量的一组测量值为 561.4、561.8、561.9、561.2、562.2、561.3、561.7、560.8、558.5、 561.3、561.1、559.9、561.5、 562.3、 561.2、 567.1、 559.2、 560.9、 562.1、562.2 。已知测量仪表偏大1.1，求测量结果 。

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