高等数学 第11讲 多元函数偏导数的计算与应用_复合函数求偏导_隐函数求偏导_条件极值
偏导数的计算
文章目录
- 偏导数的计算
- 1.复合函数求偏导
- 1.1 复合函数一阶偏导
- 1.2 复合函数二阶偏导
- 2.隐函数求偏导
- 2.1 直接法
- 2.2 公式法(最重要）
- 2.3 全微分形式不变性(好用，但是可以不会)
- 3.多元函数的极值和最值
- 3.1 无条件极值
- 3.2 最值问题
- 3.2.1 概要
- 3.2.2 拉格朗日乘数法
- 3.2.3 条件最值问题，转换为非条件最值问题
- 3.3 其他方法
- 3.3.1 利用均值或柯西不等式(重要)
- 3.3.2 利用极坐标
最基本的偏导数计算不作讨论量，就是对x求偏导，把y看成常数。
1.复合函数求偏导
首先要明确链式求导法则的以下内容
1.1 复合函数一阶偏导
下面的例子都是以抽象函数为例的，因为抽象函数是更常考的。
1.2 复合函数二阶偏导
注意:若函数的两个二阶混合偏导数在区域内均连续，则这两个二阶混合偏导数相同，与求导次序无关
2.隐函数求偏导
隐函数求一阶导数有三种求法2.1-2.3,但是隐函数求二阶偏导只有一种求法，那就是直接法，所以求二阶的时候z看成(x，y),也意味着只有公式法才看成三元独立变量。
2.1 直接法
两端同时对x求导，把y看作常数，z看作z(x,y)
如z=z(x,y)是由方程z+ez=xy所确定，求一阶偏导数
2.2 公式法(最重要）
下面详细说明公式法的使用，分为两种情况
第一种情况是对于y=f(x)的情况，则有
d
y
d
x
=
−
F
x
′
F
y
′
\frac{dy}{dx} = - \frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}\:
dxdy=−Fy′Fx′
第二种情况是，z是关于x和y的函数，移项化为F(x,y,z)=0,则，移项完这是x，y，z是三元独立自变量。
2.3 全微分形式不变性(好用，但是可以不会)
留白待整理
3.多元函数的极值和最值
多元函数中，极值点和驻点无关系
3.1 无条件极值
方法核心:利用必要条件得到所有可疑点，利用充分条件判别可疑点是否是极值点
1.寻找可疑点
计算一阶偏导数，一阶偏导数=0的点是可疑点,导数不存在的点也可能是极值点，但是在多元函数中，一般都是可导的。
2.判别是否是极值点
3.2 最值问题
3.2.1 概要
注意在最值问题中的范围问题，如在x2+y2≤25,x2+y2<25和x2+y2=25这是三类不同的题目
≤是边界+内部，<是内部，=0是边界
内部还是用无条件极值的方法做，边界用拉格朗日乘数法做，内部+边界问题那就是两种方法同时使用
3.2.2 拉格朗日乘数法
解上述方程组得到备选点pi，i=1,2,3,…,n，并求其最大值为umax，umin
在计算过程中，有些时候不要蛮力计算，要巧算
注意:一种转换思想，如求｜式子｜的最值，转换为求｜式子｜2的最值，e式子，转换为求式子的最值等的这种简化思想
3.2.3 条件最值问题，转换为非条件最值问题
有些题的约束条件ψ(x,y,z)φ(x,y,z)中能解出z=(x,y)，则直接将其代入进f(x,y,z）中，得到f(x,y,z(x,y))，求其非条件极值
3.3 其他方法
在做题过程中，可以灵活的运用其他方法解决问题，如利用图像几何性质等做题
3.3.1 利用均值或柯西不等式(重要)
均值不等式:
柯西不等式:
3.3.2 利用极坐标
在某些有圆或椭圆的题目中，可以利用极坐标设x=rcosθ，y=rsinθ再去解决问题