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leetcode刷题day32|动态规划Part01（509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯）

article 2024/9/28 23:23:57

动态规划的定义

动态规划（Dynamic Programming，简称DP），如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的。

动态规划解题步骤

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

509. 斐波那契数

动态规划解题步骤：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2、确定递推公式
状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3、dp数组如何初始化
dp[0] = 0; dp[1] = 1;

4、确定遍历顺序
由于dp[i]= dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，所以从前到后遍历。

5、举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n<=1) return n;
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=0;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        } 
        return dp[n];
    }
}

70. 爬楼梯

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。到达第三层就是第一层楼梯再跨两步或者第二层楼梯再跨一步。所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯和到第一层楼梯状态推导出来。

动态规划解题步骤：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：到达i个台阶的方法数dp[i]

2、确定递推公式
状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3、dp数组如何初始化
dp[1] = 1;dp[2] = 2;

4、确定遍历顺序
由于dp[i]= dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，所以从前到后遍历。

5、举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

代码如下：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n<=2) return n;
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

746. 使用最小花费爬楼梯

根据本题的意思，跳到第0和第1阶台阶是不消耗体力的，后面1阶或2阶台阶是需要花费的。
动态规划解题步骤：
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]的定义为：到达i个台阶花费的最少体力dp[i]

2、确定递推公式
状态转移方程 dp[i] =min(dp[i - 1] +cost[i-1], dp[i - 2]+cost[i-1]);

3、dp数组如何初始化
dp[0] = 0;dp[1] = 0;

4、确定遍历顺序
由于dp[i]= dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，所以从前到后遍历。

5、举例推导dp数组
cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]，我们来推导一下，当N为6的时候，dp数组应该是如下的数列：0 0 1 2 2 3

注意：cost最后一个值对应的不是顶楼，顶楼还需要在往上跳一个台阶。

代码如下：

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int[] dp=new int[cost.length+1];
        dp[0]=0;
        dp[1]=0;
        for(int i=2;i<=cost.length;i++){
            dp[i]=Math.min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[cost.length];
    }
}